求参数取值范围的常用思想方法

安徽省合肥市铁四局中学 李继荣 （邮编：230023）

近年来，求参数取值范围问题一直是各级各类考试的热点和难点题型.如何突破这一教学难点？本文仅就常用的两种数学思想讨论有关求变量范围问题，这两种数学思想为函数的思想和不等式（组）思想.

1 函数的思想

函数的思想是最主要、最基本的数学思想之一，它的应用涉及高中数学的各个方面，我们可利用函数的概念及其性质求参数取值范围.

1.1 函数值域法

此种方法运用函数的思想，常用分离变量法将所求参数m表示成另一变量x的函数或不等式的 形 式，即m＝f（x）（x∈D）或m＞（＜）f（x）（x∈D）的形式，然后通过函数的知识，求出参数的范围.

分析 由以a、b、c为三边构成三角形，便可得出p、x、y三者之间的关系的不等式组，再通过分离参数法，得出p＞f（t）且p＜g（t）对t∈D恒成立，进而由函数的值域可推得f（t）max＜p＜g（t）min.

解 ∵a2＝x2＋xy＋y2，c2＝x2＋2xy＋y2（x，y＞0）.所以c＞a.

设存在正数p，使得对任意的正数x和y，以a、b、c为三边长的三角形存在

对x、y＞0恒成立.

对t＞0恒成立

1.2 函数单调性法

例2 如图：P为椭圆＋y2＝1（a＞1）上 一 动 点，A1、A2是椭圆长轴的两个端点（P与A1、A2不 重合），φ＝ ∠A1PA2，求φ的范围.

分析 一般来说求角的范围，均应先求出此角的某三角函数值的范围，再反过来确定角的范围，至于选用哪一个函数，本题从条件来说应选正切函数利于问题的解决，那么又怎样来求tanφ的取值范围呢？可借助函数的思想，先把tanφ表示成点P的某一坐标的函数，再利用此函数的单调性，便可以得出tanφ的范围.

解 设P（x0，y0）为椭圆上的一点，由对称性，不妨设0≤y0≤1，作PH⊥A1A2于H，设∠A1PH＝α，∠A2PH＝β，则φ＝α＋β，且0＜φ＜π.

例3 已知f（x）＝ae－x＋cosx－x（0＜x＜1）.若对任意的x∈ （0，1），f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围.

分析 由f（x）＜0恒成立，联想参变量分离，构造函数g（x）＝ （x－cosx）ex，

由a＜g（x）恒成立，用导数求出g（x）取值范围.

解 由f（x）＜0，a＜ （x－cosx）·ex，记g（x）＝ （x－cosx）·ex，则g′（x）＝ （1＋sinxcosx＋x）·ex.因0＜x＜1，则sinx＞0，1－cosx＞0，ex＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（0，1）上为增函数.所以－1＜g（x）＜ （1－cos1）·e，故a≤－1.

1.3 三角函数法

分析 设P、Q是椭圆上关于l对称的两点，由l为线段PQ的垂直平分线，可以求出直线PQ的方程（含参数m），由题意可知联立直线PQ与椭圆方程组成的方程组有两解，再由椭圆参数方程的知识.可用椭圆参数方程中的参数θ表示m，且θ在［0，2π）上有两个值，从而实现问题的解决.

解 设P（x1，y1）、Q（x2，y2）是椭圆C上关于直线l对称的两点，PQ的中点为M（x0，y0）.

又设椭圆方程为

2 不等式（组）的思想

利用不等式（组）的思想，解决此类问题的关键是根据题意找出关于参数的不等式（组），解此不等式（组）便可求出参数的范围.

2.1 判别式法

分析 由直线l与椭圆相交于两个不同的交点，从而联立直线和椭圆所得方程组有两解，它又等价于消去y后所得关于x的一元二次方程有两个不同实根，从而此方程判别式大于零.但此不等式中除变量k还有直线l的纵截距m，再利用｜AM｜＝｜AN｜，可得到m与k之间的关系式，从而可求出k的范围.

解 设直线l：y＝kx＋m满足条件，再设P为MN的中点，欲满足题目要求，只要AP⊥MN即可.

得（1＋3k2）x2＋6mkx＋3m2－3＝0.

设x1、x2是上述方程的两个根，则

故当k∈（－1，0）∪（0，1）时，存在满足条件的直线l.

2.2 点的范围界定法

例6 同例5

分析 利用端点坐标法和已知条件｜AM｜＝｜AN｜，可用k表示线段MN的中点P的坐标，再利用问题有解，则P必在椭圆内部，从而得到关于k的不等式，最终实现问题的解决.

解 设M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中点为P，则

∵｜AM｜＝｜AN｜，

∴A在MN的中垂线上.

2.3 一元二次方程根的分布法

例7 同例4

解 设C上关于直线l对称的两点为P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为M（x0，y0），将P、Q两点的坐标代入椭圆方程后相减得

2.4 坐标范围法

例8 设P（－1，－1）、Q（2，2），直线l：x＋my＋m＝0与PQ延长线相交，求m的取值范围.

分析 由直线l与PQ的延长线相交，应有直线l和直线PQ方程组成的方程组有解（用m表示），且未知数x与y的值均应大于2.从而得到关于m的不等式，进而求出m的范围.

解 由P（－1，－1）、Q（2，2），可得知直线PQ的方程为y＝x.

2.5 数形结合

分析 可构造两个函数，利用两个函数图象之间的关系求解参数的取值范围.

如图所示，要使不等式恒成立，则直线y＝x＋b在半圆的下方，当直线过点（2，0）时，b＝－2.所以b≤－2.

以上介绍了求参数取值范围问题常用的两种数学思想和八种具体操作方法.当然也可以用其它的数学思想和方法处理此类问题，限于篇幅，本文不再介绍.事实上，我们只要把培养学生的数学思想方法和能力贯穿于一切教学活动之中，以不断提高学生的数学思想方法和能力为教学宗旨，就一定能使学生不断提高解决各种数学问题的能力.