反向旋转双转子碰摩振动分析

陈松霆，吴志强

(天津大学 机械学院力学系，天津 300072)

目前，双转子结构已经在国内外的各种飞机发动机上得到广泛应用，相对于单转子结构，双转子的涡轮和压气机在减轻气流喘振方面具有较大的优势，而双转子反向旋转有助于减小系统的陀螺效应，因此对反向旋转双转子的研究具有一定的现实意义。同时在双转子旋转系统中，内外转子之间随着转速的变化必然会产生耦合作用，碰摩作为内外转子之间相互作用的一种，也是各国学者研究的热门方向。Ferraris和Lalanne等[1－2]对反向旋转双转子动力学行为进行了预测分析。Muszynska 和 Mxjszynska 等[3－5]对转静碰摩现象进行了研究。国内也有很多学者对双转子系统和碰摩现象进行了理论和试验的研究，罗贵火等[6－8]对反向旋转双转子系统的响应和力学特性做了较为系统的研究。晏砺堂和岳国金等[9－10]对转子碰摩特征进行了分析。本文则是对内外转子之间无联接轴承的双转子系统的碰摩运动现象进行研究，并分析各种系统参数对整个系统运动状态的影响，为双转子发动机的设计提供一定的参考价值。

本文综合采用了Ferraris的双转子模型[1]和岳国金的碰摩模型[10]，建立运动微分方程，并分析了系统的动力学行为，讨论了粘性阻尼系数、碰摩刚度系数和支撑弹簧刚度对系统运动状态的影响。

1 系统模型的建立

双转子碰摩系统的简化模型如图1、2所示。图1模型参考了文献[1]中的双转子模型，由两个转子构成，内转子代表低压转子，外转子代表高压转子。模型中转子是对称的，轴的横截面是个定值。滚珠轴承在A，B，D支撑点处的刚度被假设成极大值，所以转子在A，B，D处可看成是简支，内转子的轴半径为R1，盘的半径为R2，盘的厚度为H1;外转子的轴内半径为R3，外半径为R4，盘的半径为R5，盘的厚度为H2;在本文模型中双转子存在粘性阻尼系数λ;L，l1，l2，l3，l4含义如图1所示;图2为双转子在C点处的碰摩模型[6]，双转子之间可以认为是弹性接触，该法向方向的弹性系数即碰摩刚度系数为kc，碰摩间隙r0如图1上所示，且忽略摩擦引起的热效应，同时外转子在X和Z方向各有支撑弹簧kXX和 kZZ存在。

图1 双转子模型Fig.1 Model of the dual-rotor system

图2 C点处碰摩模型Fig.2 Rub-impact model at point C

1.1 转子位移表达式

由文献[1]知内转子在x，z方向的线位移为:

角位移为:

外转子假设为刚体，所以外转子在x，z方向振动的线位移为:

角位移为:

由于g2是一个常数，所以:

上述表达式中q1，q2为内转子轴的形心的水平和垂直位移;q3，q4为外转子在 C点处轴心的水平和垂直位移。

1.2 碰摩力表达式

由于在本文中高压转子与低压转子之间的短时接触被认为是弹性接触，而且忽略摩擦引起的热效应，如图2所示，则假设碰摩转子之间的摩擦服从库仑摩擦定律，碰摩力[10]为:式中为两转子之间的间隙。

FN1，FT1，FN2，FT2分别为低压转子和高压转子在碰摩作用下受到的法向力和切向力。

将四个力在x，z方向投影后得到:碰摩对内转子的作用力:

碰摩对外转子的作用力:

1.3 不平衡质量产生的激振力表达式

激振力是由不平衡质量mu偏离转动轴距离d产生的，当不平衡质量位于圆盘D1，y=l1处时，Ω1为内转子转速，力的表达式为:

当不平衡质量mu位于圆盘D2，y=l3处时，Ω2为外转子转速，力的表达式为:

1.4 系统的运动微分方程

由转子动力学理论[11]和拉格朗日方程可推导出双转子系统的运动微分方程为:

其中:MD是圆盘质量;IDX，IDY分别是盘相对 x轴和y轴的转动惯量;S是轴横切面面积，I是轴对中性轴的截面惯性矩;P为转子的重力;E是杨氏模量;ρ是材料密度;λ为粘性阻尼系数;下标1，2分别代表内转子和外转子。

2 系统振动分析

2.1 系统的参数

为了便于分析研究系统的振动响应，选取合适的系统参数就非常重要，本文双转子碰摩系统简化模型[1]内转子长度L=0.4 m，内转子轴半径R=0.02 m，内转子盘的半径 R=0.15 m，盘的厚度H1=0.03 m，外转子轴的内半径 R3=0.03 m，外半径R4=0.035 m，盘的半径R5=0.1 m，材料的弹性模量E=2 ×1011N/m2，材料密度 ρ=7 800 kg/m3，内外转子初始转角差φ=π/3，内转子受到的重力P1=197.63 N，外转子受到的重力P2=50.47 N，粘性阻尼系数选取λ=600 Ns/m做参考值[6]，支撑弹簧刚度选kXX=kZZ=8×106N/m做参考值，碰摩刚度系数选取kc=5×106N/m为参考值，碰摩间隙选r0=0.001 3 m为参考值，摩擦系数μ取0.1，双转子盘上的不平衡质量选mu1d=mu2d=10 g·mm为参考值，如果r大于等于r0，sta的值取1，否则sta=0。同时经过计算分析:A1=7.906 kg，A2=1.570 5 kg，a1=2.892 5 kg，a2=0.355 8 kg，k1=1.913×107N/m。

下面我们将采用Runge-Kutta法对系统进行数值求解，并对系统振动响应进行分析。

2.2 不同转速下反向旋转双转子的振动响应

选取内外转子转速比为1∶1.5，并计算转子转速在300～2 000 rad/s(即约为3 000 r/min～20 000 r/min)范围内系统的振动响应，图3和图4分别是系统外转子和内转子的分岔图，图5(a)和(b)是内转子分别在转速900～1 050 rad/s和1 030～1 080 rad/s范围内的分岔图，分岔图中横坐标的数值代表内转子转速W与额定转速w0=1 000 rad/s的比值，图6(a)～(f)则是系统内转子在不同转速下的庞加莱截面图，计算结果表明:双转子系统的内外转子运动规律基本一致，当系统的内转子转速为300～940 rad/s时内外转子的分岔图都为一条曲线，内转子庞加莱图也近似为一个点，这表明双转子系统的运动状态为周期运动，当内转子转速为940～1 070 rad/s时，系统的分岔图形变得较为复杂，内转子的庞加莱图在内转子转速为950 rad/s时呈环状图形，这表明内转子的运动状态为拟周期运动，当内转子转速为1 060 rad/s时内转子在此转速附近范围的分岔图为两条分岔曲线，庞加莱图近似为两个点，这表明内转子在做倍周期运动，在此整个转速区间内系统的运动变化趋势为周期运动→拟周期运动→倍周期运动→周期运动，当内转子转速为1 070～2 000 rad/s时，系统的分岔图又变为一条曲线，庞加莱图则近似为一个点，这表明系统的运动状态为周期运动。

图3 外转子分岔图Fig.3 Bifurcation of external rotor

图4 内转子分岔图Fig.4 Bifurcation of internal rotor

图5 内转子在碰摩区域的分岔图Fig.5 Bifurcation of internal rotor in rubbing region

图6 内转子在不同转速下的庞加莱截面图Fig.6 Poincare of internal rotor at different speeds

图7 (a)和(b)中只有W1一个频率成成分，代表内转子在不同转速下的不平衡力频率，与分岔图和庞加莱图相对应，表明在300～940 rad/s转速范围内系统未发生碰摩现象，保持周期运动状态;图7(c)中频谱图包含多个频率成分，既有内转子不平衡力频率W1，外转子不平衡力频率W2，也含有两者的混合频率成分，以及分频成分，再与分岔图和庞加莱图相对应，表明在此转速系统发生碰摩，且非线性现象明显，系统保持拟周期运动状态;图7(d)中只包含两个频率成分，内转子不平衡力频率W1和外转子不平衡力频率W2，且内转子的振幅能量强度明显大于外转子的振幅能量强度，表明系统正逐渐脱离碰摩状态;图7(e)和(f)则表明系统脱离碰摩状态，保持周期运动状态。

从上面的分析结果可知，系统内转子的一阶临界转速约为1 000 rad/s，当系统的转速接近临界转速时，系统发生共振，振动强度加剧，振幅变大，从而使内外转子系统发生碰摩导致系统的运动状态变的较为复杂，当内转子的转速继续增大，系统开始脱离共振区域，系统的振幅开始减小，系统的运动又逐渐平稳。这对双转子系统的研究有重要的参考价值。

图7 内转子在不同转速下的频谱图Fig.7 Spectrum of internal rotor at different speeds

图8 碰摩时粘性阻尼系数不同时内转子分岔图Fig.8 Bifurcation of internal rotor for different damping coefficients

2.3 粘性阻尼系数对系统振动的影响

由于飞机发动机的工作环境变化较大，因此它的粘性阻尼系数一般不为定值，因此研究确定合适的粘性阻尼系数变化范围对飞机发动机的安全运行有重要的参考价值。图8(a)～(d)为双转子发生碰摩情况下粘性阻尼系数不同时内转子的运动分岔图，结果分析表明:随着粘性阻尼的逐渐减小系统的运动状态变得越来越复杂，而且保持系统平稳运动状态的粘性阻尼系数变化范围也在变小，系统在碰摩区域还容易出现彻底失稳现象。当λ≥450 Ns/m时，系统的运动状态没有发生太大的变化，当λ≤300 Ns/m时，系统在碰摩区域会出现彻底失稳的运动现象。

以上分析表明，在双转子系统中，要保持系统的运动状态的平稳性，控制选取合理的系统阻尼参数是非常必要的，对双转子系统的设计有一定的参考价值。

2.4 碰摩刚度系数对系统振动的影响

本文双转子之间的相互作用主要是通过碰摩产生，因此研究不同的碰摩刚度系数对系统振动的影响是非常必要的，图9(a)～(d)是外转子系统在碰摩刚度系数不同条件下的运动分岔图。结果分析表明:随着碰摩刚度系数的增加，发生碰摩时外转子系统的振动响应会逐渐变大，甚是会出现彻底失稳的运动现象。在图9(a)和(b)中，当kc≥1×107N/m时，碰摩区域随着碰摩刚度系数的增加有变大的趋势，且外转子系统由于在碰摩区域的X方向的振动响应值过大而导致在matlab中溢出而无法显示，这表明外转子在该碰摩区域容易出现彻底失稳的运动状态;在图9(c)和(d)中，当kc≤5×106N/m时，碰摩区域随着碰摩刚度系数的减小有逐渐缩小的趋势，外转子系统在碰摩区域的运动状态也变得较为平稳。

图9 碰摩刚度系数不同时外转子的分岔图Fig.9 Bifurcation of external rotor for different damping coefficients

以上分析表明，双转子之间的碰摩刚度系数不宜过大，否则容易出现彻底失稳的运动现象，而且会导致碰摩区域变大，这对在双转子系统内外转子联接轴承的设计中选取合理的轴承刚度系数具有一定的参考价值。

图10 支撑弹簧刚度系数不同时外转子的分岔图Fig.10 Bifurcation of external rotor for different support rigidity

2.5 约束弹簧刚度对双转子系统振动的影响

在本文双转子模型中，支撑弹簧主要作用在高压转子上，为了便于研究支撑弹簧刚度系数对系统运动状态的影响，选取X方向支撑弹簧刚度kXX做系统变量，图10(a)～(d)是外转子系统在支撑弹簧刚度系数不同时的运动分岔图。结果分析表明:支撑弹簧刚度系数过小容易导致外转子彻底失稳。如图10(a)和(b)，当kXX≥8×106N/m时，外转子的运动状态较为平稳，且在碰摩区域不会出现彻底失稳现象;图10(c)和(d)，外转子在整个转速范围内彻底失稳，因此在双转子系统的设计过程中，选取合适的支撑弹簧也是非常重要的。

3 结论

本文通过建立双转子碰撞摩擦运动模型，对系统的振动响应和运动状态进行动力学分析，结论如下:

(1)双转子系统内外转子发生碰撞摩擦时会产生复杂的力学现象，出现多种频率成分，在一定的转速范围内会出现拟周期和近似倍周期等复杂的运动状态;系统随着转速的增加在脱离共振区域后在一定条件下仍能保持较为平稳的周期运动状态。

(2)随着粘性阻尼系数的逐渐减小，转子的振动响应有逐渐变大的趋势，双转子系统的运动状态在整个转速范围内也逐渐变得复杂，系统的碰摩区域也有变大的趋势。

(3)在双转子系统的设计中，选取适当的碰摩刚度和支撑弹簧刚度对保持系统运动稳定性有重要的意义。

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