连续凸函数的判定定理

陶有德，朱 叶，陶亦文

(1.信阳师范学院 数学与信息科学学院，河南 信阳 464000;2.河南商业高等专科学校 计算机应用系，河南 郑州 450044)

连续凸函数的判定定理

陶有德1，朱 叶2，陶亦文1

(1.信阳师范学院 数学与信息科学学院，河南 信阳 464000;2.河南商业高等专科学校 计算机应用系，河南 郑州 450044)

研究了一类连续但不可导凸函数的性质，并给出相应的判定定理.所得结果可以视为可导凸函数的相关结论的推广.

连续函数;可导函数;凸函数;单侧导数;确界定理

0 引言

凸函数是一类具有显著几何特征的函数，在线性规划、最优控制、不等式等领域有着非常重要的应用.自1905年Jensen首次给出凸函数的定义以来，研究凸函数的性质及其判定条件，一直是人们关注的热门问题[1－4].在现有文献中，关于可导凸函数的判定条件的讨论已近于完善，并得到许多有用的结论[5－6].但是，在实际应用中存在着大量在区间上连续但不可导凸函数问题，例如函数

在[－1，1]上是凸函数，且 f(x)在[－1，1]上连续但在[－1，1]上不可导.此时，关于可导凸函数的判定条件失效，需要寻求新的方法判定此类函数的凸凹性.为此，本文选取连续但不可导函数作为研究对象，利用单侧导数和确界存在定理，讨论连续凸函数的判定条件，并将所得结果推广到可导凸函数中去.

1 预备知识

为证明本文的主要结果，需要用到以下引理.

引理1[1]函数 f(x)为区间 I上的凸函数的充要条件是:∀x1，x2，x3∈I，x1＜x2＜x3，总有

引理2[2]设函数 f(x)为开区间(a，b)上的凸函数，则∀x0∈(a，b)，过 x0的弦的斜率

在(a，b)上是关于 x的增函数.

引理3[3]设函数 f(x)为开区间(a，b)上的凸函数，则 f(x)在(a，b)上处处存在左、右导数，且 x1，x2∈(a，b)，x1＜x2，满足

由引理3，容易得到以下引理.

引理4 设函数 f(x)为开区间(a，b)上的凸函数，则函数 f(x)在(a，b)上连续.

2 主要结论

定理1 设函数 f(x)在开区间(a，b)上有定义，若∀x0∈(a，b)，存在实数 α，使得∀x∈(a，b)，有

则 f(x)为(a，b)上的凸函数.

证明 ∀x1，x2，x3∈(a，b)，x1＜x2＜x3，由题设对于 x2，存在实数 α，使得∀x∈(a，b)，有

特别地，分别取 x=x1和 x=x3并代入(3)，有

由此

故由引理1知，f(x)为(a，b)上的凸函数.

定理2 设函数 f(x)为开区间(a，b)上的凸函数，则∀x0∈(a，b)，存在实数 α，使得∀x∈(a，b)，有

由引理4及定理1，定理2，容易得到以下推论.

推论1 设函数 f(x)在开区间(a，b)上有定义，则 f(x)为连续凸函数的充要条件是:∀x0∈(a，b)，存在实数 α，使得∀x∈(a，b)，有

定理3 设函数 f(x)在开区间(a，b)上有定义，若∀x0∈(a，b)，存在定义在(a，b)上的函数 g(x)，使得∀x∈(a，b)，有

则 f(x)为(a，b)上的凸函数.

证明 ∀x1，x2，x3∈(a，b)，x1＜x2＜x3，由题设对于 x2，存在定义在(a，b)上的函数 g(x)，使得∀x∈(a，b)，有

特别地，分别取 x=x1和 x=x3并代入(5)，有

由此

故由引理1知，f(x)为(a，b)上的凸函数.

定理4 设函数 f(x)为开区间(a，b)的凸函数，则∀x0∈(a，b)，存在定义在(a，b)上的函数 g(x)，使得∀x∈(a，b)，有

证明 设函数 f(x)为开区间(a，b)的凸函数，则由引理3和确界存在定理，∀x，y∈(a，b)，y＜x，上确界

存在，记作

此时，g(x)是(a，b)上的关于变量 x的函数.

以下分两种情况进行讨论:

1)∀x0∈(a，b)，∀x∈(a，b)，当 x＞x0时，∀x'∈(a，b)，x'＜x0＜x，由引理2，有

于是由(7)，有

由此，f(x)≥f(x0)+g(x0)(x－x0).

2)∀x0∈(a，b)，∀x∈(a，b)，当 x＜x0时，∀x″∈(a，b)，x＜x″＜x0，由引理2，有

于是由(8)，有

由此，f(x)≥f(x0)+g(x0)(x－x0).

由引理4及定理3，定理4，容易得到以下推论.

推论2 设函数 f(x)在开区间(a，b)上有定义，则 f(x)为连续凸函数的充要条件是:∀x0∈(a，b)，存在定义在(a，b)上的函数 g(x)，使得∀x∈(a，b)，有

此外，由推论1，推论2，容易得到以下可导凸函数的判定定理.

推论3[1]设函数 f(x)在开区间(a，b)上可导，则 f(x)为凸函数的充要条件是:∀x0∈(a，b)，∀x∈(a，b)，有

证明 令 α=f'(x0)或令 g(x)=f'(x)，则由推论1或推论2，结论成立.

[1]华东师范大学数学系.数学分析:上册[M].北京:高等教育出版社，1991.

[2]裴礼文.数学分析中典型例题与方法[M].北京:高等教育出版社，1993.

[3]沈燮昌，邵品琮.数学分析纵横谈[M].北京:北京大学出版社，1989.

[4]王霞，江晓武.连续凸函数的判据及几何特征[J].数学的实践与认识，2006，36(12):274－277.

[5]刘文武.凸函数的一个等价性质[J].高等数学研究，2010，13(1):9－10.

[6]陶有德，任鹏，路振国.凸函数极值点的分布问题[J].淮北师范大学学报:自然科学版，2011，32(3):1－3.

Abstract:The convex function which is continuous but non－differentiable was studied in this paper，and some criterions of the continuous convex function were given.The obtained results are the further promotion of the the differentiable convex function.

Key words:continuous functions;differentiable functions;convex functions;unilateral derivative;the theorem of supremum and infimum

The Criterion of Continuous Convex Functions

TAO You-de1，ZHU Ye2，TAO Yi-wen1
(1.College of Mathematics and Information Sciences，Xinyang Normal University，464000，Xinyang，Henan，China; 2.Department of Computer，Henan Business College，450044，Zhengzhou，Henan，China)

O 174.13

A

2095－0691(2012)03－0027－03

2012－01－11

国家自然科学基金资助项目(10671166);河南省教育厅自然科学基金项目(2010B120010，2011A110017)

陶有德(1964－ )，男，河南潢川人，副教授，博士，主要从事系统工程、泛函分析的教学与研究.