Marcinkiewicz积分交换子的Sharp极大函数估计和连续性

赵 妍，王小珊

(1.皖南医学院 基础部，安徽 芜湖 241002;2.安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003)

Marcinkiewicz积分交换子的Sharp极大函数估计和连续性

赵 妍1，王小珊2

(1.皖南医学院 基础部，安徽 芜湖 241002;2.安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003)

文章主要研究了Marcinkiewicz积分交换子与加权Lipschitz函数在加权 Lp空间中的Sharp极大函数估计和连续性.

Marcinkiewicz积分交换子;加权Lipschitz函数;Sharp极大函数

1 引言

设 Sn－1是Rn(n≥2)上的单位球面，Ω∈L1(Sn－1)是零次齐次函数且满足

定义Marcinkiewicz积分

其中

设 b是一个局部可积函数，由 μΩ和 b生成的Marcinkiewicz积分交换子定义为

关于 μΩ及有着丰富的结果.2011年，文[1]研究了Marcinkiewicz算子交换子与加权BMO函数的 Lp(α)的有界性，同时，文[2]研究了强奇异积分算子的多线性交换子的Sharp极大函数估计和连续性.最近，Lee和Rim在消失性条件(1)和某种对数型Lipschitz条件下得到了Marcinkiewicz积分的一些性质[3]，这种对数型条件比之前的Lipschitz条件更弱，叙述如下:令 n≥2，若存在 c＞0及 δ＞1，使

对 y1，y2∈Sn－1一致成立，则称(2)为对数型条件.

基于这些工作，本文利用Sharp极大函数技术研究了Marcinkiewicz与加权Lipschitz函数在 Lp空间的有界性.

2 预备知识及定理

本文中，Q表示Rn中的方体，kQ表示与 Q同中心，边长为其 k倍的方体，记 Qk=2kQ.给定方体 Q和局部可积函数 f，令

Ap权定义为:对于1＜p＜∞

A(p，q)定义为:对于1＜p，q＜∞

注1 由Hölder不等式，可以得到 A(p，q)⊂Ap，1＜p，q＜∞.

给定权函数 w，对1＜p＜∞，加权Lebesgue空间 Lp(w)定义为满足以下条件的函数 f:

对0＜β＜1，加权Lipschitz空间 Lipβ(w)定义为满足以下条件的函数 b的全体:

注2 (1)若 b∈Lipβ(w)，w∈A1，x∈Q，则

(2)若 b∈Lipβ(w)，w∈A1，则对任何 Q

文[1]研究了在(1)(2)条件下Marcinkiewicz积分与 b∈BMO((αβ－1)1/p)生成的交换子是从 Lp(α)到 Lp(β)的有界算子.文[2]研究了强奇异积分算子与 b∈Lipβ(w)生成的多线性交换子从 Lp(w)到 Lq(w1－mq)的有界性.受其启发，本文得到如下结果:

3 定理的证明

为证明定理，需要下列引理.

引理3[4,6]对任意方体 Q，b∈Lipβ(w)，0＜β＜1，w∈A1，有

引理4[7](Kolmogoro不等式) 设 S是弱(1，1)型算子，0＜γ＜1，|E|＜∞，则存在一个仅依赖于 γ的常数，使得

引理5 若 w∈A1，则对 r＞1及任何方体 Q，有

证明 由 Ap权的性质知，对于 r＞1及 w∈A1有 w∈Ar，据 Ap权定义知，对任何方体 Q，有

即

引理7 设 f∈Lloc(Rn)，则|f(x)|≤Mη(f)(x)，(η＞0)，a.e.

证明 由 Lebesgue微分定理知

而

上式两边关于 r取极限(r→0)得:

从而，对于 η＞0，有:

故

定理1的证明 我们只需证明对任意方体 Q，有

故

对于 I1，选取 r＞1，由Hölder不等式，

由引理3及引理5得:

对于 I2，由 μΩ的弱(L1，L1)有界性及Kolmogoro不等式有:

对于 I3，我们记

由引理6，得:

对于 J1，Ω有界，当 x，x0∈Q，z∈(4Q)c时，|z－x|～|z－x0|，由Marcinkiewicz积分不等式:

而

对于 J11，类似于 I1可得:

对于 J12，由注1(1)及Hölder不等式可得:

所以

对于 J2，类似于 J1可得:

下面估计 J3:当 x，x0∈Q，z∈(4Q)c时，有|z－x|～|z－xo|，所以

由条件(1.2)知:

所以

由Minkosvski不等式，得:

类似于 J1的估计可得:

因此由Hölder不等式可得:

证毕!

定理2的证明 在定理1中选取 r＜p，由引理1，7，2可得:

证毕!

致谢:感谢导师安徽师范大学数学计算机科学学院束立生教授的悉心指导!

[1]何月香，王月山.Marcinkiewicz积分交换子与加权BMO函数[J].数学学报，2011，54(3):513－520.

[2]刘岚吉吉.强奇异积分算子的多线性交换子的Sharp极大函数估计和连续性[J].数学学报，2011，54(3):503－512.

[3]LEE J，RIM K S.Estimates of Marcinkiewicz integrals with bounded homogeneous kernels of degree zero[J].Integr equ oper theor 2004，48(2):213－223.

[4]GARCIA－CUERVA J，RUBIO de FRANCIA J L.Weighted norm inequalities and related topics，North－Holland math studie [M].Amsterdam:North－Holland Publishing Co，1985.

[5]MUCKENHOUPT B，WHEEDEN R L.Weighted norm inequalities for fractional integral[M].Trans Amer Math Soc，1974，192 261－274.

[6]GARCIA－CUERVA J.Weighted Hp spaces[J].Dissert Math，1979，162:1－45.

[7]JAVIER Duoandikoetxea.Fourier analysis[M].Trans Spanish，1995:102.

Abstract:In this paper，we mainly discuss the Marcinkiewicz integral commutators with weighted Lipschit functions in weighted Lpspace Sharp maximal function estimates and continuity.

Key words:Marcinkiewicz integral commutator;weighted Lipschitz function;Sharp maximal function

Sharp M aximal Function Estimate and Continuity for Commutators of M arcinkiew icz Integrals

ZHAO Yan1，WANG Xiao－shan2
(1.Department of Basic Courses，Wannan Medicial College，241002，Wuhu，Anhui，China; 2.College of Mathematics and Computer Science，Anhui Normal University，241003，Wuhu，Anhui，China)

O 174.2

A

2095－0691(2012)03－0008－07

2012－06－14

国家自然科学基金资助项目(11101001)

赵 妍(1981－ )，女，安徽当涂人，助教，研究方向:调和分析.