线性插值方法在PT励磁特性曲线求取中的应用

杜正旺

(胜利油田电力管理总公司，山东东营257000)

0 引言

对非线性铁磁谐振现象无论是理论分析还是仿真研究，都需要较为精确的PT(电压互感器)励磁特性曲线，铁芯材料的非线性特性是影响其运行性能的关键因素［1］.常规PT励磁特性曲线是经过试验后得到有效值的伏安特性曲线，而分析铁磁谐振现象则需要电压互感器的瞬时值的励磁特性曲线(以下简称励磁特性曲线).目前，励磁特性曲线的求取方法基本分为两大类：一类是采用实测的方法可以直接求取结果，但对设备要求较高，而且测量方法复杂，一般很少采用;另一类是用间接拟合的方法，将电压互感器的瞬时值励磁特性曲线假设为某种模型，然后将之转化为电压电流有效值的关系，利用测量得到的伏安特性值进行参数的拟合［2－4］.

PT励磁特性曲线模型通常假设为四种类型：一是分段线性化的模型;二是有理多项式的模型;三是双曲函数的模型;四是综合分段模型.分段线性化模型［5－6］拟合得到的特性曲线不够平滑，当分段较多时，不利于计算和分析.有理多项式模型［7］的缺陷是当样本点不足时曲线的拟合精度不高，特别是深度饱和区误差较大，而且当模型的阶数较大时，曲线有可能不单调.双曲函数模型［8］在拟合过程中不容易收敛，而且线性部分的特性也不理想.若采用三段拟合的方法，即第一段(线性区段)为有理多项式，第二段为双曲函数，第三段为直线.该方法在一定程度上提高了PT励磁特性曲线的拟合精度，当样本点不足时，其线性部分的拟合效果可能出现不理想的情况，而且将励磁特性分为复杂的三段函数，使得非线性铁磁谐振的定量分析相对比较复杂.

笔者求取PT励磁特性曲线时，在深度饱和区之前采用有理多项式模型，在深度饱和区采用线性模型.为了解决多项式拟合模型在拟合过程中数据不足和深度饱和区之前不精确问题，笔者首先对测量的伏安特性数据在线性部分进行插值，然后再结合最小二乘法和牛顿迭代法对PT励磁特性曲线模型进行拟合.

1 基本原理

1.1 励磁特性曲线拟合的基本思想

PT的电流i和φ磁链之间是非线性关系，根据电流和磁链的函数关系是奇函数的特点，采用下述多项式拟合其励磁特性曲线［5］，即曲线模型为

根据所测伏安特性数据Uk和Ik，k=1，…，M，M为测量的伏安特性数据点数.利用最小二乘法对参数(a1，…，a2N+1)进行估计，构造目标函数(即总体方差)：

1.2 牛顿迭代法求解非线性代数方程

由前面推导知：方程(4)是一个非线性方程，采用牛顿迭代法进行求解.假设第k次求解的参数为Ak，与真实值之间的差(即修正值)为ΔAk，将F(Ak，U)用一阶泰勒级数展开：

将式(5)代入方程(4)中就得到修正方程：

牛顿法进行最小二乘拟合步骤如下所示.

第一步：输入测量的伏安特性值(Uk，Ik);

第二步：将需要估计的参数赋初值A0;

随着我国矿山开采机械化水平的提高，大型矿井和千万吨级别高产高效工作面的增加，矿井建设和矿井开拓接续问题凸显[1-3]。“十二五”期间，国家“863 计划”重点项目“煤炭智能化掘采技术与装备”的“矿山竖井掘进机研制” 课题，已开发出具有安全防护的竖井综合凿井装备——MSJ5.8/1.6D型矿山竖井掘进机。MSJ5.8/1.6D型矿山竖井掘进机是一种涉及多学科的技术密集型施工设备，主要应用于竖井井筒建设，能够实现快速机械破岩、支护，是大型现代化矿井建设机械化的发展方向，具有广阔的应用前景[4-8]。

第三步：分别用伏安特性值求出向量Y，F和H0，利用式(6)求出修正量ΔA0;

第四步：进行修正：Ak+1=Ak+ΔAk.

如果修正量小于设定的误差，则修正后输出结果，否则修正后，返回第三步，重复进行计算，直到修正量(误差)满足事先设定的值为止.牛顿法进行参数拟合的计算流程如图1所示.

1.3 线性插值法

通过上面的数学模型推断及计算流程判断，用多项式模型来拟合磁链 －电流特性的缺陷在于三个方面，其一是样本点数限制拟合的阶数;其二线性部分和深度饱和之前的饱和区的拟合精度不太精确，这不符合PT励磁特性的特点;其三深度饱和区用多项式模型拟合精度不高，这也不符合PT励磁特性的特点.我们希望在整体误差不增大的前提下，减少线性部分和PT深度饱和区之前的误差.

图1 拟合励磁曲线的流程Fig.1 The Process of fitting excitation characteristic curves

显然，多项式的阶数越高，拟合精度越高，而多项式的阶数越多，所需要估计的参数就越多，假设拟合的阶数为2N+1，则未知的参数个数就是N个，而测量的伏安特性的样本点M必须远大于N才能有效地消除测量误差的影响.因此，当阶数提高后，测量伏安特性的样本点个数是相对不足的.

其次，用最小二乘法进行拟合，因为目标函数是方差之和，则估计出来的参数使整体误差达到最小的参数.计算出来的误差可能较大，会产生不符合PT实际励磁特性的情况，我们需要对深度饱和区之前的饱和区和线性区的误差进行控制，调整误差分布，使得深度饱和区之前的饱和区和线性区的误差较小.为此，可以通过增加线性区数据权重的方法，达到控制误差目的.

线性插值方法就是在伏安特性的线性区域采用线性插值的方法，增加线性区域样本点的个数，从而增加线性区数据的样本权重，从而达到减少线性区和深度饱和区之前区域的误差目的.

在线性区，由伏安特性取电流［I1，I2，…，IK］，相应的电压为［U1，U2，…，UK］，运用线性插值，可以得到一组新的数据：

把上述数据增加到原来的数据中，这样插值之后，每插值一次，线性区的伏安特性数据点数就增加了K－1个，插值的次数越多，线性区的伏安特性数据就越多，最小二乘拟合时，线性区域的误差就越小.同时，由于最小二乘拟合是整体方差和最小，因此相应的非线性部分的误差可能会增加，但笔者在深度饱和区采用线性模型，这样深度饱和区的误差并没有增大(后面的仿真表明，非线性部分误差并没有增加，但总体误差下降了)，这样就达到了提高整体拟合精度的目的.

2 实际算例仿真验证

以文献［8］提供的6 kV电压互感器的伏安特性为例，数据如表1所示，表中数据为标幺值，电压和电流的基准分别为

表1 高压侧测量的6 kV PT伏安特性数据Tab.1 The Voltage-Current characteristic of VT

首先确定有理多项式模型的阶数，为了拟合较为精确的模型，笔者在深度饱和区之前采用7次多项式，在深度饱和区采用线性模型，则其PT励磁特性曲线模型为

首先将插值前后的数据分别运用最小二乘法进行拟合，然后把拟合的曲线和实际的数据点比较，最后分析插值次数与总体误差的关系.

2.1 线性插值前后的拟合效果和误差对比

对于上述PT，在标幺值参数下：①当I＜2时，PT工作在线性区(I段);②当2＜I＜6时，PT工作在深度饱和区之前的未完全饱和区(II段);③当I＞6时，PT工作在深度饱和区(III段).

当PT的线性区数据进行线性插值时，就是对I段数据进行插值，也就是对表1中的前8组数据进行插值.插值前后的拟合曲线与原始数据的励磁特性曲线对比如图2所示，其对应的误差曲线如图3所示.

图3中所示的曲线1(对应图2中的曲线2)为运用表1中的数据运用1.1节和1.2节方法进行拟合的曲线;图3中曲线2(对应图2中的曲线3)为对表1的前8组数据插值11次后再结合表中的其他数据并运用1.1节和1.2节方法进行拟合的曲线.从图3中误差曲线的对比情况可以看出：插值前后的I段和II段数据得到更好的拟合，深度饱和区完全可以用一段直线来代替.

2.2 插值的次数与整体误差的关系

经过前面的分析，大家可能会存在是不是插值的次数越多越好的疑问.经过应用MATLAB仿真软件进行多次仿真，得出的结论是：插值的次数与拟合效果不成正比，其中在进行9次插值时，整体的最大相对误差最小，进行11次插值后，线性部分的最大相对误差最小，具体的情况如图4所示.

图4 插值次数与最大误差关系图Fig.4 The relationship between interpolation times and maximum fitting error

如图4所示，插值以后，励磁特性曲线的深度饱和区以前的整体误差有了明显的减小，但是在插值过程中，由于插值误差的存在，插值次数越多，插值误差也积累，于是出现了误差曲线达到最低点后又上升的现象.

3 结论

笔者在伏安特性曲线测量的范围内，采用有理多项式模型，在深度饱和范围外采用直线模型，对PT励磁特性曲线模型进行拟合.在拟合过程中引用数学领域的线性插值法进行插值，弥补了测量伏安特性数据样本点不足的缺陷，并且仿真验证给出了插值次数并不是越多，拟合效果越好的结论.最后，笔者通过应用MATLAB仿真软件，仿真验证比较了线性插值前后励磁特性曲线误差情况，为更好地分析铁磁谐振发生提供了重要的前提条件.

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［2］李谦，钟定珠，王晓瑜，等.变压器铁芯励磁特性拟合方法的探讨［J］.高电压技术，1997，23(1)：19 －21.

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