估计复合材料有效弹性常数界限的综合方法

琚宏昌，陈玲玲，张 璇

(广西工学院鹿山学院土木工程系，广西柳州545616)

0 引言

可以采用多种不同的方法对复合材料体弹性常数进行预测.国内外学者提出了多种基于平均意义上的细观力学方法来预测复合材料有效性能，较为成熟的方法有：Eshelby等效夹杂理论、稀疏分布模型、Mori-Tanaka方法、自洽方法、微分法、广义自洽法等，这些方法可以大致分为两类，即混合方法［1］和微观力学方法［2－8］.

笔者基于细微观力学的观点及Eshelby等效夹杂理论，提出了一种复合材料总体有效弹性常数进行估计的综合方法，以有效弹性常数Voigt估计和Reuss估计分别作为均匀化对比材料，可以得到比Hashin-Shtrikman上下限更紧的新上下限.

1 有效弹性常数估计的综合方法

1.1 有效弹性常数估计的经典方法

设一含有n个夹杂的复合材料体，n个夹杂的弹性刚度张量分别为 L1，L2，…，Ln，基体的弹性刚度张量为L0，n个夹杂所占的体积分数分别为 c1，c2，…，cn，基体的体积分数为 c0.颗粒复合材料体积分数存在下列关系：

Voigt估计采用并联模型.假定在载荷作用下，各组成部分(n个夹杂及基体)的变形相同，都等于复合体的平均应变，即 εr=，(r=1，2，…，n)，复合材料体的平均应力为

各组成部分的弹性本构关系为

将方程(3)代入方程(2)，得到

式中：L为复合材料体的平均弹性刚度张量，其表达式为

上式表示复合材料体的平均弹性刚度张量是其各组成部分弹性刚度张量按体积的加权平均.

Reuss估计采用串联模型.假定在载荷作用下，各组成部分(n个夹杂及基体)的应力相同，都等于复合体的平均应力，即σr=，(r=1，2，…，n)，颗粒复合材料体的平均应变为

各组成部分的弹性本构关系为

将式(7)代入式(6)，得到

上式表示复合材料体的平均弹性柔度张量是其各组成部分弹性柔度按体积的加权平均.

最近三十多年，提出了大量的微结构模型来预测材料的总体弹性常数，而这些不均匀多相异质材料依赖于材料的微结构.所有这些模型均基于Eshelby等效夹杂(EEI)方法.这些方法包括由Wakashima and Tsukamoto［5］基于修正的 EEI方法并结合 Mori-Tanaka方法［6］的估计，由Ravichandran［7］提出的单位胞元近似数值方法及Voronoi胞有限元方法(VCFEM)［8］等等.

1.2 有效弹性常数估计的综合方法

与其它有效弹性常数估计方法不同，L可以通过以下的方法—综合法来求解.文献［1］存在下列关系：

基于 Eshelby 等效夹杂理论［9］，和亦可用均匀对比材料(HCM)的形式表示出来，这种对比材料具有与多相材料相同的微几何特点，但其材料弹性常数为Lc，即在HCM中，具有

式(11)可以更进一步表示为

εr'是指r相中相应于的扰动应变，修正的特征应变为

通过Eshelby张量Sr，两个量遵从下列关系：

因此，方程(12)可以重新表示为

其中，

为约束刚度张量.

进一步，式(16)可以重新表示为

由此得到：

2 界限分析

应用MTE(Mori-Tanaka estimate)方法，可分别导出n+1相复合材料体的总体体积模量和剪切模量为

2.1 Voigt限(VB)和 Reuss限(RB)

在文献［10］的方程(3.51)～ (3.54)中令K*=0，可以得到估计值的下限RB：

相比之下，令K*→∞，注意到得到估计值的最高上限VB：

关于剪切模量G的上下限公式类似于体积模量K上下限公式.

2.2 Hashin-Shtrikman上下限(HSBs)

文献［10］给出了多种不同均质各向同性弹性材料相HSB的原始形式.如果第0相有着最小的弹性模量，第n相有着最大的弹性模量，体积模量下限和上限表示式为

式(25)和(26)是当HCM分别取复合材料体中最软和最硬相材料时体积模量的特殊情况.很明显，Hashin and Shtrikman［10］分别将复合材料体的最软和最硬相材料当作HCM，因此，HSB提供了比VB，RB更加紧密的上下限.

剪切模量HSB上下限与体积模量HSB上下限类同.

2.3 新上下限

由前面分析得知RE和VE分别是比较粗糙的上下限.不过，与空洞(RB中)和刚性夹杂(VB中)，或最软相(HSB下界)和最硬相(HSB上界)相比，RE和VE仍然是很好的近似估计.据此，分别将RE和VE作为HCM，可以得到新的上下界，即

其中GR和GV分别是由Reuss估计和Voigt估计得到的剪切模量.

方程(27)和(28)是新的上下限，事实上，它们也是两种估计.由于RE和VE(VE不小于RE)总是大于最软的成分，而小于最硬的成分，根据方程(21)和(22)，新上下限总是比HSB上下限更加紧密.

剪切模量的上下限与体积模量上下限类同.

3 实例验证

文献［11］采用平均直径大约为850 μm的砂子制成的饱和砂浆混凝土试件，进行了各种砂子颗粒体积分数含量的试验.为了便于比较，本实例采用该文献的实验数据.水泥浆基体弹性常数为：K0=22.51 GPa，G0=11.80 GPa;砂粒骨料弹性常数为：K1=44.0 GPa;G1=37.0 GPa.为了比较HSB上下限和新上下限，将上述弹性常数值代入方程(25)、(26)、(27)、(28)，得到总体体积模量和总体剪切模量分别随砂粒骨料体积分数变化的曲线，如图1、图2所示.由图可见，新上下限位于HSB上下限的范围内，说明新上下限是比HSB上下限更紧的界限.实验数据落在HSB的范围内，但不完全位于新上下限范围内，这可能由试验条件及混凝土试验的离散特性造成的.

图1 体积模量估计值的比较Fig.1 Comparison of estimated bulk modulus

图2 剪切模量估计值的比较Fig.2 Comparison of estimated shear modulus

4 结论

基于细微观力学的观点及Eshelby等效夹杂理论，提出了一种复合材料弹性常数的综合估计方法.以有效弹性常数常规估计—Voigt估计、Reuss估计值分别作为均匀化对比材料，得到了比Hashin-Shtrikman上下限更紧的新上下限.实验数据证明，笔者提出的理论和采用的方法是正确的.

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