在“数学分析”中渗透数学思想的教学意义<br/>——化归与转化思想

在“数学分析”中渗透数学思想的教学意义
——化归与转化思想

2012-08-29覃学文

梧州学院学报 2012年2期

关键词：罗尔数学分析拉格朗

苏芳，覃学文

(1.2.梧州学院数理系，广西梧州 543002)

在“数学分析”中渗透数学思想的教学意义
——化归与转化思想

苏芳1，覃学文2

(1.2.梧州学院数理系，广西梧州 543002)

基于数学思想的教学对素质教育的重要意义，结合在数学分析教学中的经验，提出在数学分析的教学中渗透化归思想的意义和具体的操作方法。

数学思想；化归思想；转化思想

从数学发展史来讲，微积分的产生标志着从初等数学到高等数学的飞跃，经过历代数学家们的努力，微积分发展成为今天具有广泛应用意义的数学基础学科——数学分析。数学分析理论的每一次发展，都是由数学思想的突破而引起的。可以说数学思想在数学分析的发展与完善中起着重要的作用。

一、关于数学思想

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。人类在对丰富的、具体的数学对象进行研究的过程中，形成了许多思维方式和数学方法，这些思维方式和数学方法经过长期的积累而产生了质的飞跃，上升为数学思想。因此数学思想比数学知识更深刻、更本质，具有更高的概括水平。基本的数学思想包括：符号化思想、公理化与结构思想、函数与方程思想、数形结合思想、化归思想、转化思想、整体思想、分类思想、类比思想、归纳思想等等。数学思想在某些具体数学问题中的体现就是数学方法，如换元法、待定系数法，以及方程中的消元法降阶法等等，但任何一种数学方法都反映了一定的数学思想，如换元法实际上就是转化思想的具体表现。

二、化归与转化思想

化归与转化思想，就是把未知的数学问题转化为在已学知识内可能解决的问题的一种思想，其特点就是实现化复杂为简单的转化、从不熟悉向熟悉的转化。

在经过多年的“数学分析”教学实践中，笔者总结的经验是：化归与转化思想是形成良好的数学认知结构的前提。

三、化归思想在数学分析教材中的作用

化归思想在数学分析中应用十分广泛，它通过数学分析的各种内容以及不同的知识点表现出来。化归思想在数学分析中起着如下两种作用：

（一）化归与转化思想对数学分析理论起着杠杆放大作用[1]

未学的、复杂的数学问题，通过转化，归结为已学的或易解决的问题，这是化归思想的功能。从另一角度来看，可以说化归思想使旧的知识向新的知识迈进，使低一级知识向高一级知识纵深发展。例如连续函数、导数、定积分、级数的收敛等定义都可以归结为极限的概念，从某种意义上来看，极限的意义在化归思想的杠杆放大作用下，向导数、连续、定积分、级数等领域发展，得到了更多新的理论。同样的曲线积分、曲面积分、二重积分等计算方法都可转化为定积分来计算。

（二）化归与转化思想在不同的知识点之间起着桥梁的沟通作用

对数学分析中的不同知识点，化归思想可使知识交融，从一个领域向另一个领域转化。例如，对一些常用的函数，如指数函数、三角函数、对数函数以及物理学中常用的某些超越函数，当求它们的近似值时，要把它们近似地表达成多项式的结构，通过计算多项式的值，就可以得到这些超越函数的近似值。而用多项式近似地表达一个给定函数的问题，就可以化归为泰勒级数。此外，最大最小值问题，可化归为函数的驻点问题；而函数的作图，也要求学生具有一定的化归思想。因为要研究函数图像或者要描函数图像，一定要掌握图像的主要特征，而微分学可以帮助学生分析函数图像的主要特征，其中最主要的特征有：①图像的极值点，这可转化为求f′(x)=0的点或导数不存在的点；②图像的单调性，可转化为一阶导数大于0或小于0的点；③曲线的凹凸性与拐点，可化为f″(x)＞0，f″(x)＜0或f″(x)＝0的问题。从上面的例子可看到化归思想广泛地蕴涵在数学分析教材之中。

四、化归思想对指导学习数学分析的意义

（一）化归思想有效地帮助对数学分析理论的理解与知识迁移

认知心理学表明，学习是学习者自己建构的。在认知过程中，学生将概念、公式、定理等知识经“同化”或“顺应”作用，纳入自己已有的认知结构中。这个过程，离不开化归与转化思想的参与。数学的学习是一个认知结构的形成过程，即新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的认知结构的过程。新旧知识互相作用的基本形式是同化与顺应。所谓同化，就是利用原有的数学认知结构对新知识进行加工处理，经加工改造的新知识被纳入原认知结构中；所谓顺应，是在原有的认知结构不能使知识进行同化时，调整原有的认知结构使之适应新的认知结构的学习过程叫顺应。

在数学分析的学习中，化归思想是同化或顺应过程的催化剂。以微分中值定理的学习为例。罗尔定理为：“如果函数f(x)满足下列条件①在闭区间[a,b]连续；②在开区间（a,b）内可导；③f(a)=f(b)，则在区间（a,b）内至少存在一点 ξ，使得 f(ξ)＝0”[2]108，其几何意义是：满足定理三个条件的曲线f(x)在区间（a,b）内至少存在一点 (ξ，f（ξ）)，使曲线过点ξ的切线平等于x轴。学生在学习了罗尔定理以后，再学习拉格朗日中值定理“如果函数满足下列条件①在闭区间[a,b]连续；②在开区间（a，b）内可导，则在区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得[3]109。其几何意义是：满足定理条件的曲线f(x)在区间（a,b）内至少存在一点ξ，使曲线过点（ξ，f(ξ)）的切线平行于两端点的弦AB。显然，拉格朗日中值定理不能纳入罗尔定理，即不能同化，经分析：两个定理从形式和结构来看有相同之处，其差异是：罗尔定理比拉格朗日中值定理多一个条件f(a)=f(b)，同时从几何条件来看，罗尔定理是过点（ξ，f(ξ)）的切线平等于x轴，而拉格朗日中值定理是过点（ξ，f(ξ)）的切线平行于两端点的弦AB。在转化思想指导下，以消除差异为目标，在原认识结构上对罗尔定理的条件及结论的表征进行改造而从几何意义来看，过点（ξ，f(ξ)）的切线平等于x轴就是平行于两端点的弦，从而认识到罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况，这基本上表现为顺应过程。当再学习柯西中值定理时，研究分析发现柯西中值定理与拉格朗日中值定理形式相似，但已知条件的表征上有差异。为了消除差异，在转化思想的指导下，把拉格朗日中值定理中，曲线AB的方程转化为参数方程y=f(x)表示，则直线AB的斜率为，曲线过点C的切线为，在t=ξ的值，这种新的表征与柯西定理中的表述一致，所以它是柯西定理的特殊情况。

在学习过程中，无论是对学习者头脑中原有的认知结构进行调整，还是对新知识进行加工改造，都是在转化思想指导下进行的，可见转化思想有利于学生的认知结构的组织化水平的提高。

（二）化归思想为学生提供思维策略

作为一种数学思想方法，化归思想在解题中可为学生提供化难为易、化繁为简的思维策略，使学生学得更深刻更灵活。一般步骤是根据题目提供的信息，分析转化目标，然后利用相应的数学知识和技能去探索转化方向，从而到达化归目标。

例如，牛顿—莱布尼兹公式、格林公式、奥斯特洛格拉德斯基公式，是同一类关系在不同维的空间的表现形式。牛顿—莱布尼兹公式把一个区间上的定积分同这个区间端点的原函数值联系起来，格林公式把一个平面区域上的二重积分和沿该区域边界的第二型曲线积分联系起来，奥氏公式把一个空间区域上的三重积分和沿该区域边界的第二型曲面积分联系起来，因此上述公式是解决某些定积分计算问题时实施转化的有效途径。例：计算，S是四面体O－ABC所成的曲面（如图4），且设积分是沿曲面的外侧而取的。

但利用奥氏公式，改变积分路线，使这难求的第二型曲面积分转化为一个空间区域上的三重积分，从而化难为易，使计算简捷得多。