等差数列项数N的计算

☉吴东武

等差数列项数N的计算

☉吴东武

吴东武 男，广东省五华县人.1966年毕业于华南工学院化工系无机物工学专业.广州石油化工总厂退休高级工程师，曾从事化工工艺及化工设备技术工作.

前言

等差数列n项和公式Sn，是德国数学家C.F.高斯少年时发现的，此公式人们已经学习了200多年.直至今日，全世界中学数学只教C.F.高斯的等差数列n项和Sn，学生只会计算整数的项数n，而不会计算带小数的项数N.我们的化工专家学者面对等差数列前N项和SN，同样也不会计算带小数的项数N，只好按自己的思维习惯，建立接近实际的计算公式，以解决设计、计算之需.

在上世纪30年代，传热工程出现了一种高效换热设备——螺旋板换热器（如右图），它是由两张厚度为δ的平行钢板卷成，有两条宽度（板间距）为b1和b2的螺旋通道，分别与中央直径为d11与d21的空心半圆柱相通，d11=d21+b1－b2，冷热介质在各自的通道中流动换热，广泛应用于化学工业、制药和食品等领域.螺旋板由里往外各圈长度组成一个等差数列，在螺线长度即等差数列n项和Sn计算中，螺旋圈数即数列的项数

式中的n必须是整数.但是，在设备设计和实际计算中，往往需要用螺旋通道的长度L准确计算带小数的螺旋通道圈数N，准确计算公式是怎样的？

等差数列N项和

在公式导出前，我们先来看看螺旋板长的等差数列是怎样形成的.

螺旋板换热器的卷板过程：当两根不同直径（d11和d21）的半圆柱状的卷辊牢固夹住隔板时，启动卷床，卷辊转动，卷板过程开始.对螺旋板长度而言，长度是从零开始由小至大的过程，是一个程积分过程，也是等差数列的形成过程.首圈长度从0开始，慢慢增长至第一圈长度a1，又从0开始再慢慢增长至第二圈长度a2，…，如此增长至an，此时，由各圈长度构成的等差数列为

式中a1为等差数列首项，an为整数项，d为公差.

当螺旋板长度增至an后，又继续从0慢慢增长至aN而未到a（n+1），卷床停止.此时，螺旋板圈数由第一圈，第二圈，…，第n圈直至第N圈而未到第（n+1）圈，各圈长度构成的等差数列为

等差数列N项和

式中n为正整数，0≤n0＜1，aN为带小数项.aN在螺旋板换热器中的几何意义是不足一圈的螺线长度.

当n0≠0时，等差数列项数N通过下述方法计算：

式中n是整数，0≤n0di＜1.以式④中的整数n代入③式，计得n0，项数N=n+n0.

我们依据等差数列N项和公式③，可以找出螺旋板换热器螺旋通道长度计算公式：

式中n是整数，0≤n0di＜1.以式⑥中的整数n代入⑤式，计得n0，项数N=n+n0.

公式⑤在特定条件n0=0，b=b1=b2，t=2（b+δ），d=d21下，变为

也有文献［1］采用公式⑦计算螺旋通道圈数N.

当n0=0时，N=n，公式⑤的螺旋通道圈数

以前，多数文献［2］［3］［4］［5］采用下列公式计算螺旋通道圈数N，其首先使用者是日本学者［6］.

同样是不可取.

计算实例（选自参考文献）

设计一台将3000kg/h的煤油从140℃冷却至40℃螺旋板换热器，冷却水入口温度为30℃，冷却水量为15m3/h.

由传热计算得到传热面积A=7.15m2，其中，螺旋板宽H=0.3m，螺旋板2初始内径d21=0.110m，板厚δ=0.0023m，螺旋通道宽b1=0.0093m，b2=0.0042m.

计算螺旋通道圈数N.

解：因为二螺旋通道初始直径df1相等，二通道长度L相等.螺旋通道长度

结论：通过对等差数列的形成过程分析和实例计算可以看出，等差数列n项和Sn是神圣的自然规律，不能更改.Sn是基础，公式③④是由SN计算等差数列项数N的完整而准确的方法，公式⑤⑥是螺旋板换热器由螺旋通道长度L计算螺旋通道圈数N实用、准确的方法，不论N是整数还是带小数.

1.王松汉.石油化工设计手册.北京：化学工业出版社，2002.

2.尾花英朗(日).热交换器设计手册.徐中权.北京∶石油工业出版社，1982.

3.毛希澜.换热器设计.上海：上海科学技术出版社,1988.

4.时钧，汪家鼎，余国琮，等.化学工程手册.北京：化学工业出版社，1996.

5.余国琮.化工机械工程手册.北京：化学工业出版社，2003.

6.化学装置编辑部.螺旋板式热交换器的设计［J］.化学装置（日本），1966，8（7）：43－49.

7.钱颂文.换热器设计手册.北京：化学工业出版社，2002.

8.董其伍，张垚，等.换热器.北京：化学工业出版社，2009.