坐标变换在求空间闭体体积中的应用

2012-08-28贵州省凯里学院附属中学吴秀吉王祖美

中学数学杂志 2012年15期

☉贵州省凯里学院附属中学吴秀吉王祖美

坐标变换在求空间闭体体积中的应用

☉贵州省凯里学院附属中学吴秀吉王祖美

在高中数学的学习中，我们已经学习过长方体，正方体，棱柱，棱锥，圆柱，圆锥等，要求它们的体积我们只要知道它们的底面积和高并代入已有公式就很容易求得.对于底面面积比较难求这一类闭体，没有一般的公式和方法.本文以平面截球所得截面是圆，球心与圆心的连线垂直于截面为基础，利用坐标伸缩变换为桥梁对此问题进行研究并得出结果.

一、下面给出文［1］中3个命题，并就命题1，2给出证明过程

命题2［1］：在平面内，夹在两平行直线间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任意直线所截，如果截得一个图形的线段长总是另一个图形线段长的k倍，那么这个图形的面积是另一个图形面积的k倍.

证明：设夹在两平行线l1，l2的封闭曲线C，C′，且垂直于l1，l2的垂线段长为b，现将［0，b］内任意插入（n－1）个点：x1，x2，…，xn－1.为了便于书写，令x0=0，xn=b，使

此分法表示为T.此分法将［0，b］分成n个小区间：

第k个小区间［xk－1，xk］的长为Δxk=xk－xk－1.第k个小区间［xk－1，xk］上任取一点ξk（xk－1≤ξk≤xk）.以ξk所在的线段长为f（ξk），则以f（ξk）为长以Δxk为宽的矩形面积f（ξk）Δxk应是“第k个小曲边梯形的面积”ΔAk的近似值，即ΔAk≈f（ξk）Δxk，其中（k=1，2，…，n）.显然，当Δxk越小，其近似程度越好.将n个矩形的面积加起来，应该是“封闭曲线C所围成面积”的近似值，即