转换化归思想应用的几点思考

☉江苏省海安高级中学 徐卫华

转化与化归思想是高中数学中重要的数学思想方法之一，学生转化与化归能力的高低，决定了解题能力的高低，因此对转化与化归能力的培养显得尤为重要.下面就其转化的基本方向，举例说明.

一、化生为熟

分析：根据新定义，知要确定函数f（x）的解析式，需要比较cos2x+sinx与的大小关系，即需要求cos2x+sinx的取值范围，另外，还要注意自变量的取值范围，再确定）的解析式，从而求出函数的最大值.

解决新定义问题，首先要把定义读懂理解透，把陌生的新内容转化为熟悉的已知的内容，在此基础上进一步研究熟悉的问题，在这里特别要注意在

二、化零为整

图1

分析：采用补形法，把题目中的“棱长”放置到长方体中，再利用“棱长”在长方体各个侧面的投影来画几何体的三视图，可以让整个解题过程变得很直观、很容易，从而避开了空间想象的抽象.

解：如图1，把几何体放到长方体

中，使得（正）长方体的对角线刚好为几何体的已知棱，设（正）长方体的对角线，则它的正视图投影长为侧视图投影长为A1D=a，俯视图投影长为4，所以选C.

三、正难则反

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.

分析：要证明结论“任意三项不可能成等差数列”会觉得较难于证明，而结论的反面“数列{bn}中存在三项成等差数列”更加容易切入，因此可以考虑采用反证法，从结论的反面出发，通过否定假设，来证明原命题.

（2）假设数列{bn}存在br，bs，bt（rbs>bt，所以2bs=br+bt，所以

化简得2·2s-r·3t-s=3t-r+2t-r，由于r

四、反客为主

例4 已知关于x的方程：x3-ax2-2ax+a2-1=0有且仅有一个实根，求实数a的取值范围.

分析：显然，题目中的x是主元，a为辅元，但方程中x的最高次数为3，求根比较困难，注意到a的最高次数为2，故可视a为主元，原方程转化为关于a的二次方程.

解：原方程可代为a2-（x2+2x）a+x3-1=0，解得a=x-1或a=x2+x+1，即x=a+1或x2+x+1-a=0，因原方程有唯一实根，则x2+x+1-a=0无实根，Δ<0，即

主元与辅元是人为的相对的，可以相互切换，当确定了某一元素为主元时，则其他元素是辅元.

五、化抽象为直观

例5若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）.

A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数

C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数

分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找f（x）与f（-x）之间的关系，由于x+（-x）=0所以需要先求出f（0）的值，这时需要取特殊值x1=x2=0解答.

解法1：令x1=x2=0，得f（0）=-1.令x1=x，x2=-x得f（x）+f（-x）=-2.

则f（-x）+1=-［f（x）+1］，f（x）+1为奇函数，故选C.

解法2：取特殊函数f（x）=x-1，满足题设，此时t（x）=f（x）+1=x是奇函数，故选C.

化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程，请同学们在学习中不断地归纳总结，以进一步提高自身解题能力.