2012年平面向量高考热点问题剖析

☉江西省于都中学 谢志斌

2012年平面向量高考热点问题剖析

☉江西省于都中学 谢志斌

通过新题或通过改变陈题的背景材料，来考查学生的能力是高考命题的常用方法.可与平面向量结合的知识点较多，如平面几何、立体几何乃至圆锥曲线、直线与方程等都能与平面向量进行交汇命题.求解这类题，需要学生具有扎实的数学基础和灵活运用数学基本思想方法的能力，并能在试题中提取有用的信息，进行加工整理.本文对今年高考中平面向量的热点问题进行分析，希望对读者能起到抛砖引玉的作用.

一、平面几何中考查平面向量

图1

分析：此题考查平面向量基础知识，目的是利用向量的工具性作用来解决向量的数量积问题.初看好像不好入手，但根据填空题的特征，不妨联想到特殊的正方形，问题便可迎刃而解！

再分析：是不是答案18只对正方形才会有呢？在一般的平行四边形ABCD中，结论又如何？

我们再去深思、去探索、去归纳.

解法2：（小题小做）设AC的中点为O，延长AP，过点C作其垂线CE，垂足为E，则OP是△ACE的中位线，由AP=3知AE=6.

点评：本题巧妙运用图像的特殊性求解，体现了平面向量“形”的特征.

二、动态中考查平面向量

图2

图3

分析：本题表面上是考查向量的坐标运算，实际上考查的知识点包含了弧度数、解三角形知识.解决本题的关键是根据圆心的运动坐标，确定点P的弧度数，从而确定∠PCA=2.

点评：本题是在运动中考查平面向量、三角函数、圆的知识，解决本题的关键是明确点P运动的弧度数为2，利用图形中特征直角三角形并结合诱导公式、向量坐标运算等知识处理.

三、交汇处考查平面向量

图4

点评：本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.

图5

分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求的向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0，得到结果.

点评：本题考查向量的计算，矩形的性质，三角形外角的性质，两角和的余弦公式，锐角三角函数的定义.

四、创新题中考查平面向量

解析：本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定义，突破口是通过新定义把问题转化为熟悉的问题解决.根据新定义得：

点评：这类考题要求考生在阅读理解的基础上及时捕捉和利用信息，结合原有所学知识作出判断、推理、概括、运算和表述．这类题型背景新颖，构思精巧，极富思考性和挑战性，因而备受各级各类考试命题者的青睐．

解决向量热点问题可归纳概括为：两个基本点、一个重点、三个看点.具体地说，两个基本点主要是线性运算和坐标运算.对此必须牢固掌握、熟练运算；向量的数量积则是一个重点，决不能轻视；向量问题所呈现的三种情景：一是与平面图形交汇，二是与三角交汇，三是在物理中的应用.这三种情景便是三大看点，它体现了向量良好的工具功能、简化功能和综合功能.