略谈与圆有关的计算问题——解“阴影部分面积问题”的策略

☉江苏省海门市三阳初级中学 黄裕梅

略谈与圆有关的计算问题
——解“阴影部分面积问题”的策略

☉江苏省海门市三阳初级中学 黄裕梅

近几年与圆有关的计算中考题，不断地出现在各种新颖的求阴影部分面积的试题中，如何让学生把握好让人“眼花缭乱”的图形？如何让学生掌握好解题的技巧？本文结合自己的分析与总结，与大家共勉.

一、数学思想的渗透是基础

求阴影部分面积的题目中，有的可以直接求解，但是更多的是无法直接求解，需要我们对问题的条件、结论进行转化、变形，使之符合基本图形的条件和结论.

因此，在解答“阴影部分面积问题”时，务必树立：（1）基本图形模型意识，为解决问题确立目标；（2）转化思想意识，为解决问题提供途径.以此为指引，为方法的寻找打下扎实的基础.

二、数学方法的提炼是工具

1.图形割补法

例1 （2012年山西）如图1是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6m，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ）.

点评：通过“补”，把阴影部分图形转化成两个基本图形的差.在解决问题的过程中，也可通过“割”，就是把一个复杂图形分割成若干个简单的基本图形的和.当然两者结合也可以.

2.等积变换法

点评：根据图形的面积相等，把不规则图形转化为与其面积相等的规则图形.

3.图形变换法

例3 （2012年山东）如图5，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图6，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1______S2（用“＞”、“＜”或“=”填空）.

图5

图6

点评：化分散为集中是本题解决的策略，通过旋转、平移、翻折等手段可以转化为规则图形的计算.

4.整体思想法

例4 （课本习题）如图7，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径均为0.5，求图中三个阴影部分的面积之和.

图7

点评：由于三角形的内角和为180°，所以三个阴影扇形的圆心角的和为180°，由于它们的半径都为0.5，因此可根据扇形的面积公式直接求出三个扇形的面积和.

5.规律法

例5（2008年株洲）如图8中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n个多边形中，所有扇形面积之和是.（结果保留π）

图8

四边形内角和为360°，则阴影面积为π；

点评：先找圆心角的变化规律，得出第n个多边形中，所有扇形面积之和等于圆心角为（n-2）×180°、半径为1的扇形的面积.

6.覆盖法

例6（课本习题）已知正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分（如图9）的面积是_________.

图9

点评：观察图形，找出它是由那些规则的几何图形覆盖形成，找出问题的突破口.

综上，在计算阴影部分的面积问题时，首先判断是否是规则图形，如果是，就利用所学的图形面积公式计算；如果不是规则图形，以上各法使之转化为求规则图形的面积或和、差.

三、数学策略由教会转化为学会是关键

解决“阴影部分面积问题”的方法有很多，关键在于让学生掌握此类问题解题策略，关键在于教会学生如何发现解题方法，关键在于教会学生如何根据问题灵活选择解题的方法.因此平时的教学中，在问题解决的过程中，让学生养成一种思维的习惯与探究的态度，让学生在数学思想的引导下，学会分析与观察，学会寻找问题解决的途径，体会数学学习的幸福感，使学生的解题能力得到更深层次的发展.