例析2012年中考试题中的阅读理解型问题

☉江苏省江阴市利港中学 郑小燕

例析2012年中考试题中的阅读理解型问题

☉江苏省江阴市利港中学 郑小燕

阅读理解题通常是给出一些材料，让学生在阅读这些材料的基础上理解材料中给出的一些定义知识，解题方法与思路，然后在把握实质、理解实质的基础上解答材料后面的问题，这类题的主要题型有：阅读定义，解答问题；阅读解题过程，总结解题思路和方法；阅读图表，解答问题；阅读新知识，研究新问题.它主要考查学生的阅读理解能力和对知识的迁移模仿能力，多以选择题的形式考查一种新的定义或者是新程序的解读以及图表图像的有关信息，有时也以填空题的形式出现，考查的内容多样，可能是函数、概率、统计，也有可能是几何图形的面积、周长，综合性较强，一般难度比较大．

一、新知识渗透型

例1（2012年湖南永州市）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列.

如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的等差，如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2.如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列，例如数列1，3，9，19，33，…它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…这是一个公差为4的等差数列.所以数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是______.

分析：要找出二阶等差数列的第5个数，只要找到原来的等差数就可以解决问题，根据题目中所给出的等差数列以及二阶等差数列的概念，可得到原来等差数列的第一个数字为3－1＝2，第2个数为7－3＝4，第3个数为13－7＝6．可知这列数的公差为2，所以第4个数为8，即可求出二阶等差数列的第五个数．

解：原来等差数列的第一个数字为3－1＝2，第2个数为7－3＝4，第3个数为13－7＝6．可知这列数的公差为2，所以第4个数为8.设二阶等差数列的第五个数为a，则有a－13=8，所以a＝21，故应填21．

点评：本题考查了学生的阅读能力以及分析解决问题的能力．搞明白题目中给出的二阶等差数列的概念是解决问题的关键．对于阅读型问题，解决时先通过该阅读题目内容，理解题目中给出的概念、性质、定理等有关知识，再结合题目进行应用．

二、解题方法展示型

例2（2012年湖北黄石市）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：

请类比以上做法，回答下列问题：

若n为正整数，3＋5＋7＋…＋（2n＋1）＝168，则n＝_______．

分析：由①式的特点发现规律，得出一个与n相关的式子，把这个式子的两边同时乘以2，得到另一个与n相关的式子，然后再把第二个式子中的每一个数分别加1，得出n2＋2n－168＝0，解这个一元二次方程即可．

点评：本题考查了学生的模仿解题能力，正确地观察出式子特点是解题关键．解题时要认真阅读已知的解题过程，仔细观察式子特点，从中发现规律，然后根据规律可得一个关于n的函数关系式．

三、新公式应用型

（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系（如图1）中画出所有符合条件的点P所组成的图形.

（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离.

图1

图2

故点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3.

点评：对于这类题目，第一步应要深刻理解和掌握“公式”的特征和条件，在应用中营造相应条件，把握化规目标，并做到步步为营，接近目标最终解决问题.

四、补充完善型

例4（2012年浙江绍兴市）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索.

图3

思考题

如图3，一架2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙低端的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整.

解：设点B将向外移动x米，即BB1=x.

得方程__________.

解方程得x1=_____，x2=_____.

所以点B将向外移动______米.

（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：

问题1

在“思考题中”，将 “下滑 0.4米”改为“下滑 0.9 米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？

问题2

在“思考题”中梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？

请你解答小聪提出的这两个问题.

分析：（1）梯形下滑时构造了直角三角形，所以可以依据勾股定理列一元二次方程来求解；（2）①由于下滑过程中构造了直角三角形，按照问题中的数据分别代入下滑后得到的三角形中，借助勾股定理逆定理判定这个三角形是否为直角三角形，如果不是直角三角形，则结论不成立；②在假设结论成立的条件下，利用勾股定理列出一元二次方程，求解这个方程后看看能否找到符合题意的解，如果能，结论成立，否则就不成立.

所以当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等.

点评：这是一道阅读后进行补充完善型问题，本题考查了勾股定理与一元二次方程的实际应用.解答本题的关键是要抓住梯子在滑动过程中的不变的因素和变化的因素，不仅要借助勾股定理构造一元二次方程模型，还要能利用勾股定理逆定理来判定直角三角形.

五、范例模仿型

例5（2012广东年湛江市）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

（3）解一元二次不等式2x2－3x＜0.

解：本题的“阅读”部分是提供一道问题解答的过程——范例，而“问题”部分是要求依据“阅读”部分的所提供的范例进行模仿解答.

解答过程：（1）x＞4或x＜－4.

（2）x＞3或x＜1.

由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：

解不等式组①，得此不等式组无解.

点评：对于这种范例型问题，在解答中首先要仔细阅读范例的解答过程，弄清题目中所展示的思想方法和所包含的思维方式，用类比的思维方式，灵活地把它运用到解决类似的问题中.

六、新定义型

例6（2012年福建厦门市）如图4，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连接AB.如果点P在直线y=x－1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“邻近点”.

图4

（2）若点Q（m，n）是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围.

分析：（1）先判断点C是否在直线y=x－1上，再求出点C到直线AB的距离，最后根据“邻近点”的概念作出判断；（2）分点Q在直线AB的上方和下方两种情况，分别求出点Q到直线AB的距离，然后根据“邻近点”的概念列不等式组求解.

点评：本题是新定义型阅读理解题，解题时要正确理解新定义“邻近点”的概念.解（2）问时，可以先考虑点Q到直线AB的距离为1，注意要分两种情况讨论：点Q在直线AB的上方和下方，再结合图形就不难求出m的取值范围.

七、探究型

例7（2012年江苏淮安市）阅读理解：

如图5，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合.无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角.

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.

情形一：如图6，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合.

情形二：如图7，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合.

图5

图6

探究发现：

（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，问∠BAC是不是△ABC的好角______（填“是”或“不是”）.

（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系.

根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为______.

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.

分析：认真阅读所给材料，掌握好角的新定义.（1）结合图7，利用折叠的性质，折叠前后重合的角是相等的角，再根据三角形外角性质及等腰三角形性质可求出∠BAC是△ABC的好角；（2）抓住第三次折叠的∠A2B2C与∠C重合，即相等，结合三角形外角性质及等腰三角形性质可求出∠B=3∠C.可以猜想出经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B=n∠C；（3）如果一个三角形的最小角是4°，那么根据好角定义可知，这个三角形的另两个角必然是4的整数倍，这样可通过列方程，讨论整数解来解决问题.

解：（1）由折叠的性质知，∠B=∠AA1B1.因为∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，而∠B=2∠C，所以∠A1B1C=∠C，就是说第二次折叠后∠A1B1C与∠C重合，因此∠BAC是△ABC的好角.

（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C.如图8所示.

因为∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C.

图8

由上面的探索发现，若∠BAC是△ABC的好角，折叠一次重合，有∠B=∠C；折叠二次重合，有∠B=2∠C；折叠三次重合，有∠B=3∠C；…由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B=n∠C.

（3）因为最小角是4°是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m、n都是正整数）.

由题意，得4m+4mn+4=180，所以m（n+1）=44.

因为m、n都是正整数，所以m与n+1是44的整数因子，因此有：m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2.所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1.

所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88.

所以该三角形的另外两个角的度数分别为：4°，172°；8°，168°；16°，160°；44°，132°；88°，88°.

点评：本题是研究型阅读理解问题，主要考查了折叠的性质，三角形的外角性质，角平分线的性质等知识.掌握规律探索型问题的一般步骤是解决问题的关键.这类题中往往会出现一些新的概念、性质或解题方法，要求学生在理解的基础上再进行问题的解答，或在阅读材料中提供一些操作方法，要求学生去模拟并探究，或提供一个解题过程，要求判断其正误.这种题不仅考查了学生的阅读能力，而且还综合考查了学生的创新意识及数学思维能力.