一次“失误 ”的实践与探究

☉江苏省海安县丁所初级中学 濮建平

一次“失误 ”的实践与探究

☉江苏省海安县丁所初级中学 濮建平

一道探究题，当我们从另外一个角度分析、思考、探究时，常常就会有新的发现，当我们对新的发现再深入探究时，我们就会认识到，这对拓展学生视野，启迪学生思维是很重要的．

一、一次评课，强调“分别”

近期，学校组织八年级数学教师进行了一次“同课异构”教学活动．

课题：八年级《数学》上册第42页的探究题：如图1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

在组织的评课中各位同仁的观点不再赘述，笔者的两点不同观点：

图1

（1）数学中考题的设计通常是以基本图形、重要概念和基本方法为基础的，学生凭借数学直觉，提炼题目所隐含的图形、模式、结论完成的.我们一位老师能升华本课的内容，得到如何“在直线上找一点使它到同侧两点距离之和最小”的数学模型或者说模式，是站在初中数学的整体高度，能为学生的后续学习打下良好的基础.

（2）提炼模式，创造模式，运用模式是教师提高学生解题能力的一剂良方，但学生对模式的理解不到位，前提不清，有时会失误.这一课，所有的老师都没提到探究题中的“分别”两字，这是我们老师的失误.

二、笔者的实践：故意“失误”

为了验证笔者的观点，笔者故意失误，给我的九年级学生出了这样一道检测题：

试题：如图2，直线MN表示一条河流，在河流的一侧有A、B两个村庄，A、B两个村庄到直线MN的距离分别是1km和4km，A、B两个村庄的距离为5km，现要在MN上修建一个泵站，（此处“分别”两字丢失）向两个村庄送水，请问所用管道的最短长度是多少？

图2

一个优生的答题情况：

解∶若A、B两个村庄共用一条管道，如图3，排水站建在C处，共用管道长为CA+AB=6km.

若分别送水，如图4，A′为点A关于直线MN的对称点，排水站建在P处，借助于图5易求得AE=BD－AC=3km，又AB=5km，所以BE=4km，A′E=5km，A′B=km，即所需的管道长度为AP+PB=A′B=km.

图3

图4

图5

一个基础较差的学生：CA+AB=6km.

笔者给优生这个题目后的评语：你好样的，这是老师的“失误”！你审题真仔细！

笔者给基础较差的这个学生的评语：good！你能进一步知道为什么吗？

三、实践后的探究

为了让学生对模型的实质有深刻的认识，给学生一个探究的平台，在试卷讲评课上进行了有目标的、针对性的共同探究：

题目：（河北中考题改编）在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）.现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水，抽水站建在何处所用管道最短？

图6

图7

图8

教师：如图6（方案一），若A、B两村庄共用一条管道，你能用含a的代数式表示管道长度吗？

学生1：d1=（2+a）km.

教师：（方案二）若从抽水站分别向两个村庄供水，你能画出P点位置吗？

学生画图：如图7，很熟练.

教师：请大家共同讨论，能不能用含字母a的代数式表示管道长度？

教师：同学们，我们虽然可用含a的代数式表示管道长度，但究竟采用哪种方案呢！

教师：如果a=4，应采用哪种方案？

教师：很好，如果a=6，应采用哪种方案？

教师：同学们，刚才通过取特殊值，已经知道采用哪种方案取决于a的值!大家能不能就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？小组讨论，看能不能解决？

学生小组讨论，教师巡视.

教师：大家准备用什么方法解决呢？

学生4：老师，可采用求差法，比较d1和d2的大小，但我求差后无法比较.

教师：很好！当不易直接比较两个正数的大小时，可以对它们的平方进行比较啊！

大家再试一试！

综上可知：当a＞5时，选方案二；当a=5时，选方案一或方案二；当1＜a＜5时，选方案一.

教师：这位同学做得太好了，这里用到了求差法，又用到了分类的思想，同学们可要学习呀！通过这道题，我们知道所需管道长短不仅与是否分别向两个村庄铺设管道有关，还与两个村庄到河流的距离以及两个村庄之间的距离有关.现在，老师把这道题改编如下：

改编：在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是akm和bkm，AB=ckm（c＞a－b）.现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水.抽水站建在何处所用管道最短？

请同学们课后类比刚才的方法，再探究：a、b、c究竟满足什么关系时，采用方案一或方案二的方法送水.

四、结束语

一道探究题，笔者的故意失误既让学生了解“分别”两字的重要性，后续探究又让学生拓展了知识的深度，锻炼了解题思维能力，真是一题值千金.如果我们的数学课堂能够在学生已有模式解决的问题上，深入挖掘问题的本质，不仅能让学生体会到学习数学的乐趣，而且能让学生活用思想方法，形成思维的发散性、灵敏性、深刻性和严谨性.

波利亚指出：“拿一个有意义而又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”.因此我们在教学中要善于搭建合适的平台，引导学生拾级而上，培养学生的推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，并注意应用意识的渗透，这才是真正的素质教育，才是数学的合理定位.真正的数学应该教“思考”、教“思维”、教“应用”.