关键卡在哪里?：从2012年无锡市中考数学卷第25题谈对学生列代数式能力的培养

☉江苏省无锡市港下中学 程 军

关键卡在哪里?：从2012年无锡市中考数学卷第25题谈对学生列代数式能力的培养

☉江苏省无锡市港下中学 程 军

从2012无锡市中考阅卷现场获悉，今年学生感觉中考数学有点难，尤其是第25题，学生普遍对题目读不懂，感觉无从下手．

一、中考原题回放

某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租贷5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%；

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．

（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？

从学校统计的情况看，一些平时比较优秀的学生，搞不清题意，列不出关系，一头雾水，感觉很难．

二、失分原因分析

1.题意理解不清

（1）对“5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购”这句话不理解，事实上根据题意不管哪种方案，5年后都有高出原价20%的利润，这是题意规定，学生不必纠缠！

（2）对投资收益、投资收益率、商铺等专用术语的理解模糊不清，造成思维受阻，影响答题．

2.找不到解决问题的突破口

对选择哪种方案无从下手！选择哪种购铺方案获得的投资收益率更高？其实在这里属于间接问答，投资收益率更高与什么因素直接相关？学生心里茫然．

3.学生无法正确列出代数式

三、对中考试题的解读

1.本试题背景涉及有关“投资收益（率）”、“商铺（租金）”等商业术语，这是对学生的第一“卡”

本试题出现了现实生活中的“投资收益（率）”、“商铺（租金）”等商业术语，学生普遍感觉吃不消，这说明一线课堂中学生脱离生活实际，无法接触社会现实，对一些商业用语无法理解．现代课堂教学要与现实生活紧密相联，切忌纸上谈兵．命题者体现了数学来源于生活，又服务于生活的新课程理念．学生对一些完全陌生的背景，应变能力有待提高．

2.问题（1）的问法是对学生的第二“卡”

本试题若改为：设商铺标价为x元，试分别表示出两种方案投资收益的关系式．这样可能学生会恍然大悟，得分率有明显提高．这里需要学生自行设元，而且要分析出投资收益与商铺标价直接相关，设商铺标价是关键！

3.正确列出代数式是对学生的第三“卡”

四、反思当下课堂教学行为

现象一：现行课堂教学中，教师对数学的教学不可谓不重视，每天上课数量达4节或更多（以2个教学班为例）；满堂灌仍然很严重，以成人思维替代学生思维，一讲到底；每天都要学生做很多的题目，特别是到了中考前的3个月，各种专题训练、模拟练习、基础测试比比皆是；学生成为解题机器，没有思考的时间和空间，只是一味地做题．

现象二：教师讲授题目时，就事论事的多，总结归纳的少，特别是涉及提炼方法，提升解决问题能力的训练，几乎看不到这样的教学痕迹，把本应由学生摸索、感悟的思维活动全部包办，致使学生做过的题目考得还可以，一拿到背景全新的题目，一下子懵了，无从下手．

想通过题海战术来猜题，以提高中考成绩，这种想法已经不适应课改潮流，也不适应现在的中考选拨考试命题走势．在中考复习中，光靠基础训练（基础题），做大量试题而不加以研究只能确保基本分值！师生双方应加强研究成份，研究命题方向，归纳解题规律，不断感悟思路方法，而且方法的提炼应让学生去感悟、体会．

列代数式是初中学生的基本数学能力．列代数式其实在七年级（上）教材中已有安排，从数到字母（用字母表示数），这是学生认识上的一次飞跃，其抽象思维要求较高，而且这种能力的培养不是一蹴而就，应是循序渐进，螺旋上升，在每一学段中不断渗透，教师理应十分重视并且绝不能包办，这里有一个长期感悟的过程．

列代数式涉及到的初中数学内容很多，有函数关系式的表示，有列方程解应用题等；涉及的领域可以是数与代数，也可以是空间与图形等；涉及的学段有七年级、八年级、九年级甚至高中阶段．因此从纯知识角度看，第25题初一学生也能做，但从能力要求来看，显然这是对初三学生整个初中阶段的数学学习能力的考查.

五、如何培养学生列代数式的能力

1.大胆设元列关系，逐个优化巧表示

案例1 在七年级（上）“用字母表示数”的巩固应用环节，教师呈现例题：

如图1是一份3月的日历，观察画出竖列上相邻的三个日期数，试填空：

（1）如果用a表示第一个数，那么，其余两个数分别是_____、_____；

（2）如果用a表示中间一个数，那么，其余两个数分别是_____、_____；

（3）如果某一个竖列上相邻的三个日期对应的三个数的和为60，那么这三天分别是______、______、______.

课堂上学生很快答出：（1）a+7，a+14；

（2）a-7，a+7；

（3）部分学生由（2）的假设，三个数之和（a-7）+a+（a+7）=60，3a=60，得a=20，故三天分别是13号，20号，27号.

图1

案例透视：教师以贴近学生生活的日历为背景，设计了由浅入深的三道小题，学生解答也很流畅，似乎学生已经掌握，达到教师的教学目标，但是仔细分析，已经初步理解为什么要用字母表示数及怎样用字母表示数，而教师在练习中已经做了提示：用字母表示第一个数、第二个数，学生几乎不用思考，很轻松地口答解决了，但其意识还是停留在教师层面，尚未转化为学生的能力（设元意识，如何设元），事实上这一环节才是最重要的，教师恰恰包办了！

策略导引 改进方案：

出示问题：如图1是一份3月的日历，观察画出竖列上相邻的三个日期数，试回答：

（1）你能看出其中有什么规律吗？可以怎么表示呢？

（2）如果某一个竖列上相邻的三个数之和为60，那么这三天的日期分别是多少？

（3）从（2）的解答过程中，你又有什么发现？

问题（1），教师以一句提示性的问题，引导学生联想今天所学的知识：可以用字母来表示数.而且提问很开放，学生可以从不同角度，用字母表示不同的数，答案多样化：a，a+7，a+14；a-7，a，a+7；a-14，a-7，a.

问题（2），可以用（1）的结论，经过对比发现，选择第二个假设比较简便、合理.

问题（3），学生由（2）不难发现，所给的数除以3即为中间数，减7、加7即为前后两个数.

之后让学生自己提出一些相关的问题.

如：同一列（或行）的四个数，方块形的四个数，斜四个（或三个）数，是否也有类似的发现呢？请学生课后思考或讨论.

案例带来的思考：这样处理，不仅体现了用代数式表示数的优越性，而且有意识地培养学生列代数式的能力，而且能从不同角度列出代数式解释含义，体会代数式的多样化和简洁性，更重要的是让学生有一种用字母表示数的意识和体验，还让学生自己发现并提出一些简单的数学问题，将思维真正引向深入．本案例与中考第25题应该说有着异曲同工之妙．如果初一刚开始，教师就是抱着这样的理念进行教学，何愁学生不会做？

2.多个角度寻关系，代数式有理就有生命力

案例2八年级（下）分式方程应用（3）——组内教师公开课

环节一 回忆列一元一次方程解应用题的一般步骤

1.审 2.设 3.找 4.列 5.解 6.答

环节二 教师出示例题（教师读题）

为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务．这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面．如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？

环节三 学生思考并回答

教师随即打断学生的回答，指出这不是我们刚学的分式方程，给予拒绝！好狠！

教师又说，这个方程太复杂，有没有更简单的？

教师肯定学生的做法，大加赞赏！

案例透视：这样的教学只能把学生教死！我们要提高学生的分析问题的能力，但教师却把预设的东西强塞给学生，学生个性被扼杀，第一位学生列出的代数式4x×2表示后两小组多做的彩旗面数，而可表示第一小组（走掉的一组）制作的彩旗面数，这样的代数式意义丰富，简洁明了，列出了超乎教师意料的一元一次方程（整式方程）！学生可敬！教师若是为了让学生一定要列分式方程而教学实在可悲！教师若是没来得及反应，就把学生的解答拒之门外！实在可惜！

策略导引 改进方案：

案例带来的思考由于学生的原有经验，认知水平，理解能力等千差万别，列出不同的代数式也属情理之中，只要列出的代数式题意，有理便正确．至于复杂与否涉及到学生的思维品质，让学生自己去优化比较，作为教师首先要肯定学生的思维能力，我们不能用一把尺衡量学生的优劣，允许个性发展．如果在平时的教学中允许学生的思维天马行空，在广度和深度中得到历练，何愁解决不了第25题！

正确列出代数式是本试题考查学生能力一个重要方面．课程标准对第三学段（7-9年级）数与代数领域中有关代数式的基本要求是：能分析具体情景中的简单数量关系，并用代数式表示．2012年无锡市中考数学指导意见对列代数式的能级要求是C级，即能在新的情景中会运用．因此命题者完全按照课程标准精神和升学指导意见来办事，题目立意新颖，注重对学生能力的考查（列代数式能力），是一道中等难度的好题！教师应准确把握课程标准中对列代数式能级的要求．以培养学生能力为目标，让我们的教学进一步明确方向，今后的复习更有导向性，最终让更多的学生进入到优秀的行列中来．