云深不知处，只在此山中——例说构造法求存在性问题

☉安徽省蒙城县第六中学 方 伟

云深不知处，只在此山中
——例说构造法求存在性问题

☉安徽省蒙城县第六中学 方 伟

坛

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”.这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断；导出矛盾，就做出不存在的判断.

由于存在性问题的结论有两种可能，所以具有开放性的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，很多同学对这类问题求解很困惑，往往云里雾里，不知所措.正确、完整地解答这类问题，是对学生知识、能力的一次全面的考验.重点考查转化与化归、方程与数形结合、分类与构造等数学思想和方法.

一、构造函数，求解存在性问题

（1）求k、b的值.

图1

（3）设m=1－a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围.

分析：（1）先将B点坐标代入y2，求出c，从而确定y2的解析式，然后再将C点代入求出d，最后将B、C代入y1即可求出k，b.

（2）先确定△PAD的面积的解析式，再利用二次函数的最值解决，从而得到P点坐标.通过构建关于某动点横坐标或纵坐标为变量的二次函数，是求函数背景下面积最值的有效策略.

（3）分情况讨论列出不等式解决即可.

二、构造方程（组），求解存在性问题

例2 （2012年山东临沂市）已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动.

（1）如图2，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°.

（2）如图3，当b＞2a时，点M在AD运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.

（3）如图4，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由.

图2

图3

图4

分析：（1）由b=2a，点M是边AD的中点，可得△AMB和△DMC是等腰直角三角形，∠AMB=∠DMC=45°，可证明∠BMC=90°.

（2）、（3）分析图形，△ABM∽△DMC，利用相似图形的性质列出方程，探索方程根的情况.

因为b＞2a，a＞0，b＞0，所以△=b2－4a2＞0恒成立.

所以此方程有两个不相等的实数根，且两根均大于0，符合题意.

所以当b＞2a时，存在∠BMC=90°.

（3）不成立.理由：若∠BMC=90°，由（2）可知x2-bx+a2=0.

因为b＜2a，a＞0，b＞0，所以△=b2－4a2＜0不成立，所以此方程无实数根.

所以当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立.

三、构造直线方程，求解存在性问题

例3（2012年贵州黔西南州）如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.

（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴.

（2）设点P（x，y）为抛物线（x＞5）

上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标.

（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：（1）由抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），用待定系数法可求出抛物线对应的函数解析式，再化为顶点式（或用公式），可求抛物线的对称轴.

（2）由（0，4）和对称轴x=3知OA=4，OM=3.由点P为抛物线（x＞5）上的一点，知PA＞PM＞2.

所以以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，只能是PA=6，PM=5.有二次函数的轴对称性与勾股定理.知点P与点A关于对称轴对称.所以P（6，4）.

（3）存在.△NAC的最大面积，即点N距AC的距离最大，此时点N在直线AC下方的抛物线上，过点N与直线AC平行的直线与抛物线只有一个交点.由所作直线与抛物线相切的位置关系，知一次函数与二次函数所得方程组消去y得到一元二次方程有相等解，则判别式为0，从而可求解.

图5

（3）存在.△NAC的面积最大，即点N距AC的距离最大，此时点N在直线AC下方的抛物线上，过点N与直线AC平行的直线与抛物线只有一个交点.

四、构造圆，求解存在性问题

例4（2012年云南省）如图6，在平面直角坐标系中，直线y=－x+2交x轴于点P，交y轴于点A，抛物线y=－x2+bx+c的图像过点E（－1，0），并与此直线相交于A、B两点.

（1）求抛物线的解析式（关系式）.

（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标.

（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

图6

分析：（1）根据抛物线经过点A、点E，可以求出b与c的值，从而求得抛物线的函数解析式；（2）点C在x轴上，其纵坐标为0，在Rt△CAP中，因为OA⊥CP，利用AO2=CO·OP可求得CO，从而得点C的横坐标；（3）利用直径所对圆周角为直角，构造圆，利用分类思想就△MAB直角位置的变化，分别求出M的坐标.

（3）设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得△MAB是直角三角形，即∠AMB=90°或∠ABM=90°.

Ⅰ.在Rt△MAB中，若∠AMB=90°，那么M是以AB为直径的圆与坐标轴的交点，这时M会在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上.

1 若交点在y轴的正半轴上（如图7），设M（0，m），则有m=yB（B点的纵坐标）.

图7

图8

2 若交点在x轴的正半轴上（如图8），设M（n，0），此时过B作BD垂直x轴于点D，则有△AOM∽△MDB，于是：

Ⅱ.在Rt△MAB中，若∠ABM=90°，即过B作BM⊥AP，这时M会在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上.

1 M在x轴的正半轴上，如图9，设M（t，0），同样过B作BD垂直x轴于点D，则在Rt△PBM中，有BD2=MD·DP.

图10

窥一斑而见全貌，存在性问题往往都有一定梯度难点，但并非是无源之水，而是推陈出新，有根可究.应对中考试题认真地分析研究，了解试题背景、摸清命题意图、揭示试题本质，才能达到拓宽数学视野、对中考题触类旁通、举一反三、创新解题思路的目的.

“存在性”问题大体可分为两类：（1）由数量关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求）.这种类型的“存在性”问题，解决的方法主要是借助于构造方程.构造方程是解决各种形式的由“数量关系”确定的“存在性”问题的最有效最常用的方法.另外，还可尝试构造函数、直线方程去解决问题.（2）由位置关系确定的“存在性”问题，即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求.这种类型的“存在性”问题，解决的方法主要通过构造一些基本图形（如圆，相似三角形）再联系数据之间的关系，确定位置存在的必然性.