例谈函数思想在二项式中的应用

☉江苏省泗洪中学 陆长龙

二项式定理是高中数学的重要内容之一，也是高考的一个重要的知识点，大都以填空题或选择题等小题的形式出现在考卷中.纵观近几年的高考试卷，考生在这一块的得分并不理想.究其原因，是考生一见题型熟悉，不经过认真审题，匆匆作答，结果“会而出错”，这主要是高考解题中的“心理型错误”所致；再者由于方法不当，导致运算烦琐，会做而得不到结果，使得解题思路中断，这主要是高考解题中的“策略性错误”所致.为了尽量减少解题过程中的不必要的麻烦，避免解题中的一些“废招”，同时注重数学思想方法在解题中的应用，下面就通过例题来谈一谈函数思想在二项式中的一些应用.

例3 若（x-2）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=______.

解：构造函数f（x）=（x-2）5，则f（0）=a0=-25=-32，f（1）=-1=a0+a1+a2+a3+a4+a5，故f（1）-f（0）=a1+a2+a3+a4+a5=-1+32=31.

例4 已知（1-x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则（a0+a2+a4）·（a1+a3+a5）的值等于______.

解：构造函数f（x）=（1-x）5，则f（1）=a0+a1+a2+a3+a4+a5=0，f（-1）=a0-a1+a2-a3+a4-a5=25，从两个方程可解得：a0+a2+a4=-（a1+a3+a5）=16，所以（a0+a2+a4）（a1+a3+a5）=-256.

例5 已知（1-2x）9=a0+a1x+…+a9x9，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=_____.

分析：由题易知展开式的偶数项系数均为负数，奇数项系数均为正数，因而可构造函数f（x）=（1-2x）9.

令x=-1即可.

解：构造函数f（x）=（1-2x）9，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=f（-1）=39.

例6 若（1-2x）2008=a0+a1x+a2x2+…+a2008x2008，则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2008）=______.

分析：由（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2008）=2007a0+（a0+a1+…+a2008），因而可构造函数f（x）=（1-2x）2008.

解 ：构造函数f（x）=（1-2x）2008，则f（1）=a0+a1+…+a2008=（1-2）2008=1，f（0）=a0=1.

（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+ … +（a0+a2008）=2007f（0）+f（1）=2008.

同样利用函数的思想还可以非常方便地求出如下各题的解.

1.已知（1-2x）7=a0+a1x+…+a7x7，则a1+a2+…+a7=______.

3.已知（3x-1）7=a0+a1x+…+a7x7，求：

（1）a1+a2+…+a7；

（2）a1+a3+a5+a7；

（3）a0+a2+a4+a6.

4.已知（3-2x）5=a0+a1x+…+a5x5，则a2+a3+a4+a5=______.

5.设（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+…+anxn，当a0+a1+a2+…+an=254时，n等于______.

6.设（x+1）4（x+2）5=a0+a1（x+3）+…+a9x9，求（a0+a2+a4+a6+a8）2-（a1+a3+a5+a7+a9）2.

从上面几个例题的解法中我们可以清楚地看出，上面的几个例子的解法并未用到所谓的二项式定理的知识点，对所给的恒等式主要是利用函数的思想和特殊与一般的基本思想，方法简洁，思路清晰，将求代数式值的问题最终转化成求函数值的问题，充分体现了函数思想在整个高中数学中举足轻重的地位，也更进一步体现了高考注重对数学思想方法的考查，注重以能力立意的高考命题思路，不拘泥于学科知识的束缚，更多地着眼于一般的思想方法.