求四边形未知顶点坐标例析

2012-08-28江苏省盐城市高级职业学校初中部汪荣跃

中学数学杂志 2012年12期

关键词：横坐标表达式四边形

☉江苏省盐城市高级职业学校初中部汪荣跃

平行四边形是初中阶段非常重要的几何图形，探求平行四边形未知顶点坐标又是近几年中考的热点话题，备受命题者的青睐.但许多学生由于不得其法而一筹莫展.现以近年来的中考试题为例，介绍一些求平行四边形未知顶点坐标的方法，供大家参考.

一、寻找相等关系，建立方程模型

例1 如图1，已知二次函数图像的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上.

（1）求m的值及这个二次函数的关系式.

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（3）D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

解析：（1）由点 A（3，4）在直线 y=x+m上得4=3+m，则m=1.由于二次函数图像的顶点为C（1，0），因此其函数关系式可设为y=a（x-1）2，由点 A（3，4）在抛物线 y=a（x-1）2上得 4=a（3-1）2，则 a=1，所以二次函数关系式为 y=（x-1）2，即 y=x2-2x+1.

（2）设 P、E 两点的纵坐标分别为 yP和 yE，则 yP=x+1，yE=x2-2x+1，所以 PE=h=yP-yE=（x+1）-（x2-2x+1）=-x2+3x.由于点 P 是线段 AB 上的动点，因此 0＜x＜3.

（3）因为 PE⊥x轴，DC⊥x轴，所以 PE∥DC.因而要使四边形DCEP是平行四边形，只需PE=DC.由xD=1得yD=xD+1=2，则DC=yD=2.根据 PE=DC，PE=-x2+3x，DC=2.可得-x2+3x=2，解得 x1=1，x2=2.当x=1时，PE与DC重合，不符合要求，故舍去；当x=2时，y=x+1=3，所以满足要求的点 P 坐标为（2，3）.

点评：在整个运动过程中，四边形DCEP始终保持着对边PE与DC的平行关系，但PE的长度却随着P点横坐标x的变化而变化.要使四边形DCEP是平行四边形，P点必须运动到PE=PC的特殊位置，从而为建立关于P点横坐标x的方程提供了相等关系.

二、借助平移变换，沟通坐标关系

例 2 如图 2，点 A（m，m+1）、B（m+3，m-1）都在反比例函数的图像上.

（1）求 m、k的值.

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，试求顶点M、N的坐标及直线MN的函数表达式.

图2 图3 图4

解析：（1）由点 A（m，m+1）、B（m+3，m-1）在反比例函数 y=的图像上可得，k=m（m+1）且 k=（m+3）（m-1），从而有 m（m+1）=（m+3）（m-1），解得 m＝3.所以 A、B 两点的坐标分别为（3，4）、（6，2），且 k＝3×4=12.

（2）由于以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，因此线段MN可看做由线段AB平移所得.由于点A平移后的位置可能在x轴上，也可能在y轴上，故存在两种情况：

①当点A平移后的位置在y轴上时（如图3），为了能让点A平移到y轴上，点B平移到x轴上，可以先将线段AB向左平移3个单位，到达线段A1B1位置，再向下平移2个单位，到达线段 NM 位置，此时 N 点坐标为（3-3，4-2），即 N（0，2）；M 点坐标为（6-3，2-2），即 M（3，0）.设直线 MN 的函数表达式为 y=k1x+b1，由 M（3，0）、N（0，2）在直线 y=k1x+b1上，得，解得所以直线MN的函数表达式为

②当点A平移后的位置在x轴上时（如图4），为了能让点B平移到y轴上，点A平移到x轴上，可以先将线段AB向左平移6个单位，到达线段A2B2位置，再向下平移4个单位，到达线段 MN 位置，此时 M 点坐标为（3-6，4-4），即 M（-3，0）；N 点坐标为（6-6，2-4），即 N（0，-2）.设直线 MN 的函数表达式为 y=k2x+b2，由 M（-3，0）、N（0，-2）在直线 y=k2x+b2上，得解得

点评：由于平行四边形对边平行且相等，因此可借助平移变换，沟通平移前后对应点坐标之间的关系.

三、构造全等图形，探求线段关系

图5

例3 如图5，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式.

（2）点G是抛物线上的动点，在x轴

上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.

解析：（1）把 y=0 代入 y=x2-2x-3，得 x2-2x-3=0，解得 x1=-1，x2=3，所以 A、B 两点坐标分别为（-1，0）、（3，0）.把 x=2 代入 y=x2-2x-3，得 y=-3，所以 C 点坐标为（2，-3）.由 A、C 两点坐标易求得直线AC的函数表达式为y=-x-1.

（2）在以A、C、F、G为顶点的平行四边形中，已经确定的线段AC可能是平行四边形的对角线；也可能是平行四边形的边，此时AC对边GF可能在直线AC上方，也可能在直线AC下方.所以本题可分三种情形讨论.

①若AC是平行四边形的对角线（如图5）.此时AF∥CG，则yG=yC=-3.把 y=-3 代入 y=x2-2x-3，得 x2-2x-3=-3，解得 x1=0，x2=2，所以点 G 的坐标为（0，-3）.又因为 AG∥FC，所以线段 CF 可看做线段GA向右平移2个单位所得.从而由点A的坐标（-1，0）可得点 F 的坐标为（-1+2，0），即 F（1，0）.

②若AC是平行四边形的边，且GF在直线AC下方（如图6）.此时点 G 和①中的 G 重合，即 G（0，-3），且有 AC∥FG.运用①中的方法，可得 F（-3，0）.

③若AC是平行四边形的边，且GF在直线AC上方（如图7、图8）.作CM⊥x轴，GN⊥x轴，垂足分别为点M、点N.由▱ACFG得 GF=CA，GF∥CA，所以∠GFA=∠CAF.又因为∠AMC=∠FNG=90°，所以△ACM≌△FGN.从而有 GN=CM=3，NF=AM=3.把y=3代入y=x2-2x-3，得x2-2x-3=3，解得由于 NF=3，点F可看做点 N向右平移3个单位所得，因而点F的坐标为或所以满足条件的点 F 的坐标为（1，0）或（-3，0）或