赏析中考“新定义”试题

☉北京宏志中学 阳娟娟

新课改以来，各地中考试题中不断出现一类新题型，这类题型设计角度新颖、解答灵活多样，主要考查学生的阅读理解能力、应变能力和解决问题的能力，我们称之为“新定义”试题.求解这类试题的关键是正确理解新定义，并用此定义为依据，综合所学知识来解决问题.

一、新定义“三角形数”和“正方形数”

例1 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把 1、4、9、16、…这样的数称为“正方形数”.从图1中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看做两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（ ）.

A.13=3+10

B.25=9+16

C.36=15+21

D.49=18+31

解析：本题介绍的是多角形数定理的补充：在古希腊，毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形.他们把 1，4，9，16，25，36，49，64，…这些数叫做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形.从每个图中划了一条斜线后，就可以发现：两个相继的三角形数之和是正方形数；而每个正方形数必须是完全平方数，故排除A.后面的三角形数必须是 1+2+3+…这样的数，15=1+2+3+4+5，21=1+2+3+4+5+6.因此选择C.

二、新定义“完全对称式”

例2 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式.下列三个代数式：①（a+b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a，其中是完全对称式的是（ ）.

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

解析：第一个代数式很明显，只含有a、b两个字母，把a换成b，把b换成a，所得代数式和原代数式相同.第二个代数式不管怎样换都不会变，因为式子中是3个数两两相乘，每个数扮演的角色完全相同，所以是完全对称式.但第三个式子a，b，c在底数和指数的位置不同，角色就不同了，不象第一个式子都是乘数，相互之间位置不存在区别，所以互换就会造成a，b，c在底数和指数的位置发生改变，所以第三个式子不是完全对称式.故选择A.

三、新定义“凤凰方程”

例3 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）.

A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c

解析：由一元二次方程的根的判别式可得，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.又由“凤凰”方程得到a+b+c=0，变形为b=-a-c，然后代入判别式，（-a-c）2-4ac=0，即a2-2ac+c2=0.根据完全平方公式，可以得出a=c，故选择A.

四、新定义“黄金矩形”

解析：留下的矩形CDFE是黄金矩形.

因为四边形ABEF是正方形，

所以AB=DC=AF.

即点F是线段AD的黄金分割点.

故矩形CDFE是黄金矩形.

五、新定义“准内点”

例5 定义：到凸四边形一组对边距离相等，且到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图3，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点.如图4，∠AFD与∠DEC的角平分线FP、EP相交于点P.求证：点P是四边形ABCD的准内点.

解析：如图 4，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD.

因为EP平分∠DEC，

所以PJ=PH.

同理PG=PI.

所以P是四边形ABCD的准内点.