图形运动型试题的分类与思路解析

☉山东胶南市第四中学 乔方荣

数学中的运动变化问题，包括点动、线动、平行移动、翻折、旋转和滚动等各种运动方式.本文着重探讨通过恢复原始（初始）或特殊状态，找到解决这类问题的思路.

一、动点问题

例1 如图1，在矩形ABCD中，R、P分别是DC和BC上点，点E、F分别是AP、RP的中点，当P点在BC上从B向C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（ ）.

A.线段EF的长逐渐增长

B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长始终不改变

D.线段EF的长不能确定

解：解本题时不要被“动”点P所迷惑，以动窥静，以静思动，抓住不变因素（定点和定长AR及△APR的中位线EF），自然联想到不论点P移动到哪一点，EF的“角色”——中位线的特征始终不改变.根据中位线定理，总有EF平行且等于AR的一半，所以线段EF的长度不改变.

二、动线问题

例2 如图2所示，已知线段AM∥DN，直线l与AM、DN分别交于点B、C，直线l绕BC的中点P旋转（点C由点D向N点方向移动）.任取变化过程中的两个图形，测量AB、CD长度后，分别计算每个图形的AB+CD（精确到1cm），比较这两个和是否相同，并证明你的结论.

解：经测量AB1=1.4cm，DC1=0.6cm，AB1+DC1=1.4+0.6=2（cm）.AB2=0.8cm，DC2=1.2cm，AB2+DC2=2（cm）.

所以AB1+DC1=AB2+DC2.

证明：过P点作PE∥AB交AD于E点，则PE∥DN.

在四边形AB1C1D中，2EP=AB1+DC1.

在四边形AB2C2D中，2EP=AB2+DC2.

所以E为AD中点，AB1+DC1=AB2+DC2.

三、平移问题

例3 在平面直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x轴，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B点的坐标是（-1，5）.抛物线y=x2经过上下左右移动后，能否使得A、B、C、D四点都在抛物线上？若能，请说明理由；若不能，则将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=mx2”，试探索m的值，使得抛物线y=ax2+c，经过上下左右移动后能同时经过A、B、C、D四点.

解：本题如果利用图3，将抛物线移到A、B、C、D四点，再利用A、B、C、D四点的坐标来求m，就太麻烦了！考虑运动具有相对性，将等腰梯形移到如图4初始位置，在这个位置很容易求出A、B、C、D四点的坐标，从而求出经过A、B、C、D四点的抛物线，题目就简单得多了！

四、翻折对称问题

例4 如图5，一张三角形纸片沿直线DE折叠成如图形状，试探索∠A与∠CEA和∠BDA的数量关系.

解：本题如果利用四边形与三角形的内角和解题，就太麻烦了，考虑∠A是由△ABC翻折而成，我们将折叠图形恢复到初始位置，题目就简单得多了.

如图5所示，根据翻折对称的性质，易得：

∠EAD=∠EA′D，AE=A′E，AD=A′D.

所以∠EAA′=∠EA′A，∠DAA′=∠DA′A.

因为∠AEC=∠EAA′+∠EA′A，∠ADB=∠DAA′+∠DA′A，

所以∠A与∠CEA和∠BDA的数量关系是：

2∠A=∠CEA+∠BDA.

五、旋转问题

例 5 如图6，ABCD是正方形，点E、F分别是BC、CD边上的两个动点，如果∠EAF恒等于45°，那么EF∶（BE+DF）等于多少？

解：将BE+DF中的两条线段转移到同一条直线上，由此想到将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°得△ABP.由旋转性质知：

BP=DF，AP=AF，∠1=∠2.

又因为∠PAE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-∠EAF=90°-45°=45°，

所以∠PAE=∠EAF=45°，AE=AE，AP=AF.

所以△PAE与△FAE关于AE对称，可得BE+PB=BE+DF=PE=EF.

所以EF∶（BE+DF）=1∶1.

总结与思考

图形的“运动”使问题变得很复杂，解决这类题目的关键是把动态问题抽象成数学模型，动静结合，准确地分析问题中什么在变，什么没变，进而把握住变化过程中不变的关系及图形.