拓展思路巧求几何概率

☉江苏省泗洪中学 吴艳明

所谓几何概率，就是一个事件发生的概率等于这个事件的度量与整个样本空间度量的比的一种概率模型，这个度量在几何概率中指的是长度、面积或体积.对于一个具体的问题能否用几何概率模型公式计算其概率，关键是能否将问题几何化，从建立的几何模型入手，来解决概率问题.此类问题由于综合性强、灵活性大，学生解题时常感到无从下手.本文结合几例探求几何概率的问题，针对如何建立几何模型及确定几何度量谈几点技巧与方法.

一、通过定积分确定几何度量

若几何概率是以面积为几何度量的题型，事件发生的几何区域是由函数图像所围成的区域时，可考虑利用定积分确定其面积的大小.

及直线x=1，x=e2与x轴围成，若向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）.

技巧点拨：本题考查了几何概率的求解方法，解题时的关键是利用定积分的知识确定事件发生的几何区域的面积，先利用点D的坐标确定曲线的方程，然后求出阴影部分的面积和矩形面积，所求概率等于两个面积的比值.

二、利用向量关系式确定点的位置

有些几何概率问题对事件发生的区域是以向量形式给出的，应首先利用向量间的关系确定所求点的位置，从而确定事件发生的几何度量.

0，现将一粒黄豆随机投入△ABC内，则该粒黄豆落在△PAC内的概率为_____.

三、与函数性质相关

若几何概率的条件与函数性质相关，则将此性质转化为不等关系，根据不等关系进一步确定事件发生的几何度量，往往涉及线性规划的知识求解.

技巧点拨：确定几何概率问题的实质是探求几何度量间的关系，本题由函数单调递增的条件确定可行域的面积，继而求得几何概率的大小.

四、通过框图探求范围

技巧点拨：本题考查了几何概率的计算问题，其几何度量是区间的长度，通过框图构造分段函数，利用输出的y值落在区间（-5，3）内确定自变量的取值区间，从而确定概率值的大小，实质问题也是框图在分段函数中的应用.

五、利用几何性质确定参数范围

技巧点拨：本题考查了几何概率的运算，求解时利用过一点有两条圆的切线的条件即圆心到点的距离大于半径确定参数k的范围，从而确定几何概率的大小，需要注意的是本题几何度量是参数所在区间的长度.

总之，求几何概率的关键是确定几何度量的类型，往往涉及不等式、函数性质、几何性质等的应用以及面积、体积等问题的计算，解题时要根据不同类型合理转化，起到化繁为简，化生为熟的目的.