一道课本习题的探究性学习与思考

●张 觉 (嘉兴市第五高级中学 浙江嘉兴 314051)

探究性教学是新课标的显著特征之一，新课程改革与实施的目的就是要改变学生被动接受知识的过程和缺乏创造性的学习.注重对知识的发生、发展过程的体验，让学生亲自追寻知识生成的轨迹.这就注定了要从传统的教学方式进行改革，需要教师在平常的教学中调控学生思维“流向”，给学生提供探究性学习的理想素材，搭建展示思维的平台，为学生提供动手、动脑的机会，引导他们应用观察、分析、综合、归纳、抽象、类比、猜想、总结等方法去探究，去创新，培养学生正确的探究问题的步骤、思想及方法.

1 创设探究的情景，选择好的探究性题目

就像希尔伯特曾深情地称费马大定理是一只会“下蛋的金母鸡”，一道好的题目会给我们带来引人入胜的探究之旅.例如人教版《数学》选修2-1第50页B组第4题：

怎样才能让这只“母鸡”下出“金蛋”来呢?

2 合理化的转换思考，多方面创造性质疑

视角1 R，S，T不是线段OF的4等分点，R'，S'，T'不是线段CF的4等分点，结论是否成立.它们对应的分点是否需要一致?

视角2 对于任意的矩形，是否都有相应的椭圆与之对应(特殊转化为一般).

同理可得直线ER的方程为

联立方程(1)，(2)可得直线ER与GR'的交点坐标为

代入椭圆方程得

成立.

图1 图2

视角3 形似联想，利用图形的对称性转化位置，R，S，T，R'，S'，T'转换位置后结论是否成立呢?

(证明略.)

视角4 转换角度，若不对称地进行转换即R在OE上，R'在CG上，其他条件不变，交点是否仍在椭圆上呢?

视角5 类比联想，从类比的思想角度出发，既然交点在椭圆上，是否有相应的交点在双曲线上，什么时候在双曲线上呢?

从而又得到下面一个新的命题.

(证明略.)

从这个视角得到了上面的命题并且解决了视角5所遇到的问题.正确的思维方式总能给我们带来意外的惊喜.

图3 图4

视角6 在原有结论的基础上步步深入，继续转换点的位置状态，从而又得到了新命题.

(证明略.)

上面的问题思考过程中可能会失败，但在失败的同时也会喷发出新的研究点与探究的方向.问题是否就此结束了呢?

3 积极的进行反思，让逆向思维产出新的火花

由上面的思考，自然想到它的逆定理是否成立，从而产生许多精彩的结论.

图5 图6

实际上当点P在第二、三、四象限时成立，当点P在坐标轴上时也成立，此时的比例为0或1.在命题5的基础上继续探讨，可得到下面的性质.

性质3 如图 6，|S△OER-S△OHN|=|S△GPN'-S△FPR'|.

4 乘胜追击，深入探究，让思维成为问题的主宰

视角1 拓展深入，既然椭圆上一个点能产生这样美妙的性质，若2个点呢?

(证明略.)

视角2 类比反思，既然椭圆上成立，那么双曲线呢?

图7

图8 图9

对双曲线也可以得到同样的面积关系，笔者不再细述，仅做出图像如图8，9所示.

视角3 交错思考，若椭圆与双曲线相互搭配又会产生怎样的思维碰撞呢?

图10

5 探究性学习与教学的建议

从以上探究的方法与过程，我们知道要使探究性教学能有效地开展下去，需要教师能坚持教学能力的研究，要能深入到探究性教学问题的本质，让学生的思维进入问题的核心，培养学生科学地探究问题的方法与思想.建构主义数学学习观认为：“学习并非是对于教师所授予知识的被动接受，而是依据已有知识和经验为基础的主动建构的过程”解一道题，必然要进行多角度的尝试，经历了多种挫折，走过了多条弯路，从而获得探究问题的方法与思想.要以思维为出发点，以学生为主，教师适度地研究与引导，让学生从不知到知，从不懂到懂，从临摹到思考探究，一步一步找到解决问题的途径和获取新问题的方法.只有让学生学会思考，学会探究，学生的探究性能力才能得到有效的提高，教师的探究性教学才能更好、更有效地开展.我们的教育才能真正地转化为能力教学，避免“为考而教，不考不教”的现象，使其真正步入到新课程改革所倡导的教育的主方向和学习思维发展的主方向上来.

［1］ 王神华.新课程理念下开展“问题驱动”教学思考［J］.数学通报，2007(12)：10-11.