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圆锥曲线统一定义的解题功能

2012-08-27湖南省永州市第二中学邓艮平

中学数学杂志 2012年3期
关键词:对称点准线永州市

☉湖南省永州市第二中学 邓艮平

圆锥曲线是平面解析几何的重要曲线,其性质是历年高考考查的重点.本文举例说明圆锥曲线的统一定义的解题功能,供同学们参考.

例2 (2010年全国I卷理科21题的推广)已知圆锥曲线C的一个焦点为F,与F相对应的准线交F所在轴于点K,过K的直线l与C交于A、B两点,点A关于焦点所在轴的对称点为D,则点F在直线BD上.

证明:(1) 当A、B位于同弧时,如图2所示,设BD与焦点所在轴交于点F′(不同于点F).由题意知点K为准线与x轴的交点,过B、D分别作准线的垂线,垂足为M、N.因为点A关于焦点所在轴的对称点为D,所以∠BKF=∠DKF.

综合(1)(2)知,点F在直线BD上.

例3 过圆锥曲线的一个焦点F作一条同弧弦AB,过B作BC平行于焦点所在的轴,交相应准线l于点C,l与焦点所在的轴交于点E,则直线AC经过线段EF的中点.

EM∥AD.

故直线AC经过线段EF的中点.

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