可靠性分析的改进加权响应面法

洪 飞，吴剑国

（浙江工业大学 建筑工程学院，浙江 杭州 310032）

可靠性分析的改进加权响应面法

洪 飞，吴剑国

（浙江工业大学 建筑工程学院，浙江 杭州 310032）

为了克服响应面法（Response surface method简称RSM）在计算大规模工程时效率低下和计算可靠性指标敏感度时偶尔误差大的问题，提出一个高效率的改进加权响应面方法.此方法首先构造一次响应面函数，然后在可能存在失效点的被缩小范围内采用轴向采样来得到样本点，构造二次响应面函数；通过从之前的样本组里增加新的样本点，给予靠近失效点的样本点更高的权重来更新响应面函数.通过几个算例表明：比较双加权响应面方法，此方法具有更高的准确性和计算效率.

结构可靠度；响应面法；响应面函数；加权回归

为了提高计算效率，集统计和数学技术于一身的响应面法（RSM）在大型结构的可靠性建模和分析时是非常有用的.响应面法（RSM）最早是由Box和Wilson于1951年提出来的，就是通过一系列的确定性的“试验”拟合一个响应面来模拟真实极限状态曲面.以往的响应面法在进行每步迭代过程中，样本点都是依据插值点展开得到的，通过多次确定性的有限元分析，计算出结构的响应，拟合极限状态方程；在应用现有商业大型有限元结构分析程序进行计算分析时非常耗时，而且比较麻烦.例如：如果10个初始试验抽样点拟合的响应面函数需要3次迭代才能完成逼近.那么总共需要30（3×10）次的结构分析.因此，相比于一次二阶矩法（The first order reliability method简称FORM），RSM在高非线性问题上需要很多次的迭代才能逼近，自然需要大量的结构分析和计算时间［1］.此外，以可靠度为基础的优化设计问题同时需解决可靠度分析和优化问题，关于随机变量的可靠度指标的灵敏度决定其优化问题的收敛性［2］.尽管RSM能得到相对精确的可靠度指标，但是RSM会产生相当大的灵敏度误差，而这些误差很可能减弱优化问题的收敛性.

为了提高拟合极限状态曲面的收敛速度及精度，很多学者提出了改进，Kaymaz I，Mc Mahon CA［3］基于加权回归的统计分析思想，提出了加权回归响应面法，第一次迭代采用线性的响应面，下次迭代选用没有交叉项的二次响应面，拟合点由中心点产生，为了增强极限状态函数绝对值小的实验抽样点对响应面函数确定的作用，削弱极限状态函数绝对值大的实验抽样点对响应面函数确定的作用，响应面的系数采用加权回归的方法.但构造实验点的权数采用的形式给极限状态函数绝对值较小的点过高的权重，而且容易造成回归矩阵的病态.钟宏林［4］为了解决此缺点，提出来一种采用双加权回归新的响应面法，引入与计算实验点与验算点p＊的距离相关的第二个权重，通过调节第二个权重可以避免回归矩阵的病态.赵洁、吕震宙［5］在 Kaymaz I，Mc-Mahon CA采用加权回归统计分析思想的基础上提出来了一种新的加权响应面法，构造新的加权系数.李生勇等［6］在求解过程中，用插值点逐步替代初始样本点组中距离验算点较远的点，其目的是使所选取的样本点较集中于验算点附近，重新构成下一轮迭代所需的一组样本点，直至满足收敛条件.

鉴此，笔者提出的改进加权RSM方法即减少了所需的结构分析次数，又能提高灵敏度的精确性.这种方法的不同之处在于所需要的试验抽样点的采样过程.此方法在每次迭代时保留被选择的试验抽样点并在下一次迭代式重新使用，能加快响应面的收敛速度和精度，所以能更精确的逼近原始响应面和有效地减少结构分析的次数.此外，我们的重点是可靠度指标的灵敏度精确性的提高，因为灵敏度决定了相关随机变量对结构可靠度的影响.

1 改进的加权RSM

1.1 改进加权RSM表达式的确定

此方法建议第一次迭代采用线性多项式，下次迭代选用没有交叉项的二次多项式.因为第一次迭代采用没有交叉项的二次多项式很少能够逼近极限状态函数.而采用线性多项式能够较好的逼近极限状态函数.用算例比较双加权RSM［4］与此方法的准确性和效率，两种方法均采用加权回归思想，给与更靠近极限状态面的拟合点更大的权重，但是两者的加权原理是不同的.双加权［4］为了增强极限状态函数绝对值小的实验抽样点对响应面函数确定的作用，削弱极限状态函数绝对值大的实验抽样点对响应面函数确定的作用；而此方法的加权为了加强靠近失效点的试验抽样点对响应面函数确定的作用，削弱远离失效点的实验抽样点对响应面函数确定的作用.在现有的几种响应法如多项式、样条函数和神经网络中，目前采用较多的是简单的线性多项式［3］和不含交叉项的二次多项式［4］.改进的加权RSM第2次迭代之后采用的不含交叉项的二次多项式，表达式为

确定响应面函数系数常用最小二乘法，为了确定式（1）中的2n＋1个系数，可行选择m（m≥2n＋1）个实验抽样点xj（j＝1，2，…，m），得到m 个结构响应，写成列向量g＝｛g（x1），g（x2），…，g（xm）｝T.系数向量可表示为

其中：MX是由m个实验抽样点构成，xji为第j个实验抽样点的第i个分量，MX的形式为

由加权回归统计思想，一个好的响应面希望给更靠近极限状态面的拟合点更大的权重，Kaymaz I，Mc Mahon CA介绍了一种采用加权确定响应面系数的方法，其表达式为

其中：权重因子用对角矩阵W来表示为

其中：N为试验抽样点的数量；w（xj－xD）为关于最新设计点xD与试验抽样点xj距离的权函数.权函数的表达式为

式中dmi为影响范围的大小，等于试验抽样点xj与最新设计点xD的最大距离.权函数写成关于变量r的函数，选取三种权函数形式：

其中：α为形状参数，用于调节拟合曲面的光滑度，取α＝0.3.

1.2 改进加权RSM步骤

在步骤中，首先构造一次响应面函数，然后在可能存在失效点的被缩小范围内采用轴向采样来得到样本点，构造二次响应面函数.通过从之前的样本组里增加新的样本点来更新响应面函数.具体步骤如下：

1）选择随机变量x和定义极限状态函数g（x）.

3）由式（2）拟合第一次迭代的一次响应面函数.

4）用一次二阶矩法求得此响应面的设计点xD（1）和可靠度指标β（1）.

6）由式（2）拟合第二次迭代的二次响应面函数.

7）用一次二阶矩法求得该二次响应面函数设计点x（2）D和可靠度指标β（2）.

10）将第k－1次迭代的设计点作为一个实验抽样点加到第k－1次迭代的试验抽样点组中，得到k－1＋2n个试验抽样点，即，，j＝1，2，…，2n，f＝0.5～0.75，由式（4）拟合第k次迭代的二次响应面函数.

在第3次以后的第k步迭代采用10），11）步骤.重复10），11）的过程，直到达到给定的收敛准则.

2 算 例

为了证明此方法的有效性，笔者选取一个有明确表达式的算例及一功能函数未知的框架结构.

算例1 极限状态方程为

其中：x1，x2，均服从标准正态分布.

在改进加权RSM中，采用四次样条函数，幂函数，指数函数作为权函数所得到的可靠度指标都为2.709 9，并且都只需3次迭代.表明权函数的变化对可靠度指标的影响不明显.因为双加权RSM和改进加权RSM都是在得到响应面函数后由FORM来求解可靠度指标的，所以单用FORM求得的解作为参考解.双加权RSM有文献［4］提供，改进加权RSM为笔者提出的方法，图1为三种方法迭代过程的可靠度指标变化.双加权RSM和改进加权RSM都能达到理想的收敛.但是改进加权RSM比双加权RSM收敛的速度要快，初始可靠度指标不同是因为双加权RSM采用5（1＋2n）个试验抽样点，而改进加权RSM采用5（1＋n）个试验抽样点.

图1 例1迭代过程的可靠度指标变化比较图Fig.1 Comparison of the histories of the reliability index per iteration of example 1

表1和表2采用双加权RSM和改进加权RSM的可靠度指标，设计点和随机变量灵敏度的比较.响应计算次数表示此方法的效率.这两种方法的可靠度指标都非常接近精确值，但是改进加权RSM的设计点和随机变量灵敏度的误差比双加权RSM小很多.双加权RSM迭代过程的响应计算次数为20（＝4×（1＋2n））次，而改进加权RSM 只有10（＝（1＋n）＋（1＋2n）＋1×2）次.第一个算例证明改进加权RSM采用较少的响应计算次数得到更精确的可靠度指标和随机变量灵敏度.

表1 例1可靠度指标和设计点比较Table 1 Comparison of reliability index and MPFP of example 1

表2 例1响应计算数和灵敏度比较Table 2 Comparison of number of function evaluations and sensitivity of example 1

第一次迭代的f值一般取2.0～3.0，这里取f＝2.0得到可靠度指标为2.462 929.笔者重点研究第一次迭代之后的f取值对可靠度计算的影响，表3列出不同的f取值得到的可靠度指标β.结果表明：当f取0.01～1.0时收敛效果很好，当f取2.0～5.0时收敛速度在递减，但也能收敛，当f取大于6.0时其迭代是不能收敛的.

算例2 图2为三跨12层建筑的平面框架结构计算简图（图中单位为m）.各单元弹性模量均为E＝2.0×107k N／m2，单元截面惯性矩与截面面积的关系为I1＝αi（i＝1，2，…，5）.各单元的截面特征截面面积Ai以及外荷载P的统计特征见表4.极限状态方程Z＝0.096－uA＝0.

表3 例1不同的f值的可靠度指标βTable 3 Reliability indexβof different f value of example 1

表4 随机变量统计特征Table 4 Statistic characteristics of the randomVariables

图2 算例2计算简图Fig.2 Calculation diagram of example 2

在改进加权RSM中，采用四次样条函数，幂函数，指数函数作为权函数所得到的可靠度指标都为1.450 6，并且都只需3次迭代.表明权函数的变化对可靠度指标的影响不明显.

图3为三种方法迭代过程的可靠度指标变化.一般RSM方法的结果由文献［7］提供，作为精确解.双加权RSM和改进加权RSM都能达到满意的收敛结果.但是改进加权RSM比双加权RSM收敛的效果要好.

图3 例2迭代过程的可靠度指标变化比较图Fig.3 Comparison of the histories of the reliability index per iteration of example 2

表5为采用双加权RSM和改进加权RSM的可靠度指标和设计点的比较.两种方法的可靠度指标和设计点都能接近精确值.但是双加权RSM需要55次响应计算而改进加权RSM只需22次.对于求解此类实际工程的可靠度问题，改进加权RSM就能大大体现出此方法的优越性.

表5 例2结果比较Table 5 Comparison of analysis results of example 2

3 结 论

尽管响应面法（RSM）因其数值效率而被广泛用于结构可靠性分析，但是RSM计算大规模工程费时和有时在计算可靠性指标敏感度时误差大，因此提出一个高效率的改进加权响应面方法来克服这些局限性.此方法给予靠近失效点的样本点更高的权重，以使响应面在失效点上更逼近极限状态函数.通过算例的证明此方法采用较少的响应计算次数得到更精确随机变量灵敏度.

［1］RAJASHEKHAR M R，ELLINGWOOD B R.A new look at the response surface approach for reliability analysis［J］.Structural Safety，1993，12（3）：205-20.

［2］YOUN B D，CHOI K K.A new response surface methodology for reliability-based design optimization［J］.Computers ＆Structures，2004，82：241-56.

［3］KAYMAZ I，MCMAHON C A.A response surface method based on weighted regression for structural reliability analysis［J］.Probabilistic Engineering Mechanics，2005，20：11-7.

［4］钟宏林.基于双加权响应面法的张弦梁可靠度分析［D］.杭州：浙江工业大学，2008.

［5］赵洁，吕震宙.隐式极限状态方程可靠性分析的加权响应面法［J］.机械强度，2006，28（4）：512-516.

［6］李生勇，张哲，石磊，等.一种在响应法中选取样本点的新方法［J］.计算力学学报，2007，24（6）：899-903.

［7］张哲，李生勇，石磊，等.结构可靠度分析中的改进响应面法及其应用［J］.工程力学，2007，24（8）：111-115.

An improved response surface method based on weighted regression for reliability analysis

HONG Fei，WU Jian-guo
（College of Civil Engineering and Architecture，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310032，China）

In order to overcome these problems that the response surface method（RSM）is time consuming for large-scale applications and sometimes shows large errors in the calculation of the sensitivity of the reliability index with respect to randomVariables，this study proposes an efficient and improved RSM based on weighted regression.In the proposed method，a linear RSF is constructed at first and a quadratic RSF is formed using the axial experimental points selected from the reduced region where the MPFP is likely to exist.The RSF is updated successively by adding one new experimental point to the previous set of experimental points and giving higher weight to the experimental points closer to the most probable failure point（MPFP）.Numerical examples are presented to demonstrate the improved accuracy and computational efficiency of the proposed method compared to the RSM based on a double weighted regression.

structural reliability；response surface method；RSM function；weighted regression

TU311.4

A

1006-4303（2012）01-0106-05

2010-11-10

洪 飞（1986—），男，浙江萧山人，硕士研究生，研究方向为结构可靠性和结构分析，E-mail：hongfei183＠163.com.

（

刘 岩）