关于紧支集多元小波的一种算法

胡 爱，邸继征

（浙江工业大学 理学院，浙江 杭州 310023）

关于紧支集多元小波的一种算法

胡 爱，邸继征

（浙江工业大学 理学院，浙江 杭州 310023）

在小波分析的实际应用中，多元小波对分解和重构图形图像等是很有用的，然而小波系数的计算是一个困难问题.众所周知，小波系数是由所考查的函数与小波基函数乘积的积分定义的.由于函数往往只由抽样值给出，所以前述积分需要用近似计算的方法得到，如果大量小波系数都通过这种方法计算，必将带来巨大的工作量，而如果把一元小波Mallat算法的思想推广到多元的情形就可以得出紧支集多元小波系数的计算方法，即相应于这类小波的Mallat分解和重构算法.在一个积分极限定理的基础上，由函数抽样值得到了近似计算这些系数的公式.通过这些公式可以直接由函数抽样值算出小波系数，得到抽样值算法.

多元小波；分解；重构；Mallat算法；抽样值

在图像处理中平面图像和立体图像都需要用多元函数来描述，尤其是二维平面图像是基本组成部分，所以多元小波在分析图像材料等方面显得尤为重要，然而计算小波系数不是一件容易的事情.一元情形的分解和重构已经讨论过［1］，将一元Mallat算法的思想推广到多元的情形，给出了多元Mallat算法的分解和重构公式.正如一元小波的情况，对一些函数f，我们需要知道“几个系数”，其他的就可以通过公式计算出来.而f常常是不知道的，所以连几个系数也很难获得，因此对大多数小波来说没有明确的表述，而Mallat算法还是难免积分，所以计算起来相当困难.在实际问题中，基本上都是通过函数在抽样点处的值对其进行了解的，因此函数抽样值［1］近似计算紧支集多元小波系数［2］的方法对解决上述难题也是很有效的.

1 基本结论、符号和概念

令｛Vj｝j∈z为L2（R）上对于尺度函数φ 的一个多分辨分析，相应的小波ψ满足

其中：Z为整数集；R＝（－∞，∞）hk为实数；N＝2K－1，K 为正整数，gk＝（－1）kh－k＋1.

令V2j＝Vj⊗Vj，那么｛V2j｝j∈z是L2（R2）上的一个多分辨分析［3］.因为

2 多元小波的Mallat算法

考虑到图像处理中二维图像是基本组成部分，因此下面以二元小波的Mallat算法为例说明其分解与重构过程.

与一元情形一样，根据函数f的实际情况，大致选取一个整数j，记该函数为f＝fj∈V2j.比如，若

因此在上述二元情形下，对hi为实数，且hi＝0，i∉Z0，N，其 中 Z0，N＝ ｛0，1，…，N－1，N｝，N＝2 K－1，K为正整数，尺度函数是由式（1）定义，小波是由式（2）定义的紧支集函数时，有如下分解定理.

定理1

式（3－6）构成二元情形的Mallat分解算法，下列定理给出相应的重构公式.

定理2 当k＝2p－1，m＝2q－1，p，q为整数

3 抽样值算法

与一元情形一样，Mallat算法是在假定一些系数已知的前提下求另一些系数，不能免除积分.如果能够用函数在一些点的值直接计算出系数，必会为Mallat算法的应用带来极大的方便.

以下讨论这个问题，并在尺度方程为式（1），小波表示为式（2）的条件下进行.

首先介绍两个记号.记

由以上定理，并令f－j∈V2－j，可得定理4.

定理4 当j＞0足够大时，f－j在（2－jk，2－jm）附近连续时，

利用式（19，20），如果用－j或－j＋1分别取代式（3—10）的j或j＋1，我们就能得出分解和重构公式.

4 结 论

通过将一元小波的Mallat算法推广到多元的情形，构造出了紧支集多元小波的Mallat算法，并给出了具体计算小波系数的分解和重构公式.在很大程度上已经克服了原来所有系数都通过抽样值计算的高复杂性和误差大的缺点.在Mallat分解和重构公式里也需要先知道一些系数的值.对此，用函数在一些点的抽样值先直接计算出部分系数的方法又免除了一些积分的计算，这不仅大大降低了Mallat算法近似计算积分的冗余度，也为它的应用带来了很大的方便.

［1］成礼智，王红霞，罗永.小波的理论与应用［M］.北京：科学出版社，2004.

［2］DI Ji-zheng.Construction of a kind of wavelets［J］.Journal of Mathematical Research and Exposition，2001，21（4）：495-499.

［3］DAUBECHIES I.小波十讲［M］.李建平，译.北京：国防工业出版社，2004.

［4］陈仲英，巫斌.小波分析［M］.北京：科学出版社，2007.

［5］徐利治.函数逼近的理论与方法［M］.上海：上海科学技术出版社，1983.

An algorithm for compactly supported multivariate wavelets

HU Ai，DI Ji-zheng
（Collage of Science，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310023，China）

In the practical application of wavelet analysis，multivariate wavelet is useful for decomposition and reconstruction of graphs and images.However，it is quite difficult to calculate the wavelet coefficients.It may be well-known that wavelet coefficient is defined by integral of the product of the discussed functions and the wavelet basis functions.Since the function is often given by the sample values，the integral mentioned above need to be calculated approximately.If a large number of wavelet coefficients are calculated in this way，it will be a heavy workload.If the idea of Mallat algorithm of univariate wavelet is applied to multivariate wavelet，we can deduce Mallat algorithm of compactly supported multivariate wavelet.Based on an integral limit theorem，an approximate formula is obtained for the calculation of coefficients by sampling values.With the help of these formulas，we can get the wavelet coefficients directly by sampling value of function.

multivariate wavelets；decomposition；reconstruction；Mallat algorithm；sample value

OS1.86

A

1006-4303（2012）01-0115-04

2010-10-22

胡 爱（1984—）女，山西朔州人，硕士研究生，主要从事小波分析应用研究，E-mail：huaixin.xin＠163.com.通信作者：邸继征教授，E-mail：dijiz＠zjut.edu.cn.

（

刘 岩）