平面有限元网格实用划分方法研究

蒲军平，姚宇龙

（浙江工业大学 建筑工程学院，浙江 杭州 310032）

平面有限元网格实用划分方法研究

蒲军平，姚宇龙

（浙江工业大学 建筑工程学院，浙江 杭州 310032）

网格的生成是平面有限元计算的前提和基础，但当边界不规则时容易生成劣质单元，对计算造成影响.对比目前较为成熟的四边形网格生成方法，开发出以Visual Basic语言为基础的结构化有限元网格划分程序，生成较为规则的四边形单元.它具有操作简便，网格密度、单元数量可控制，生成的数据简单实用等特点，特别适用于小型结构的有限元分析.

网格生成；四边形单元；网格密度；Visual Basic语言

有限元法是一种有效的工程分析方法，特点是可以对不规则边界、材料各项异性、有裂缝或突变等复杂工况进行较为精确的分析.由于它在解决实际问题中简便有效，在工程和科技领域中已经得到了广泛的应用.有限元网格生成是指如何在求解区域内生成拓扑有效和几何有效的满足有限元计算要求的网格，目前有限元网格的研究已取得了许多重要的成果，科研人员研究并总结出了一些成熟的算法在此基础上研制了一批面向市场的商业工程化软件.国内的有限元网格技术起步晚于国外，但发展迅速，随着计算机技术的发展，国内的一些专家学者也提出了很多优秀的网格生成的算法来解决工程实际中对有限元网格计算的要求［1－2］.如何在现有的基础上更好地实现有限元网格的前处理，除了对算法本身进行研究，寻找精度更高，收敛更快，试用范围更广的理论外还要有与之相适应的计算机程序匹配才能显示出它的优越性，二维有限元的前处理的核心就是进行合理高效的网格剖分系统的设计.笔者研究的目的在于找到一种适合处理小型复杂区域的平面网格划分方法，进而为之后的有限元计算做好前期准备工作.

1 有限元网格生成理论

现有的有限元网格生成方法有数百种之多［3－5］，但大致能归纳为两大类，即结构化有限元和非结构化有限元网格.

结构化有限元网格指网格内部所有点的度均相同，具体说就是内部所有节点具有数量相等的毗邻单元，结构化有限元网格有许多优点：

1）边界附近的单元与边界可以对齐，对边界的处理相对来说比较简单，特别适用于应力集中或者流体、磁场等对边界条件敏感的有限元计算.

2）网格生成的数量、密度可人为控制且生成的单元质量好.

3）数据结构简单、实用，特别适用于小型结构的有限元计算.

当然结构化网格的缺点也是显而易见的，一般来说它只能对特定的单元进行划分，如果是复杂的区域，只能事先人为地将复杂区域划分为若干个四边形区域，然后对每个四边形区域单独划分.通常情况下，四边形单元是比较理想的二维结构化网格，笔者所生成的即是结构化有限元网格.

非结构化有限元网格可以弥补结构化网格难以解决的处理任意形状和联通区域的问题，由于非结构化网格生成技术比较复杂，算法和编程技术上的实现较为困难，目前采用比较成熟的非结构化网格自动生成的大多是三角形单元.

目前，平面有限元分析单元类型有多种多样，比较常见的是三角单元和四边形单元［6－7］，发展到今天三角形网格单元已基本成熟，基本上采用Delaunary三角算法就可得到满意的结果.而四边形网格的发展中虽然没有一种比较统一的生成算法，但沿用四边形单元进行的有限元分析计算结果精度更高，所以现在的二维有限元分析方法都倾向于采用四边形单元.算法的种类多种多样，根据其几何特点可大致归纳为以下几种：

前沿推进法（Advancing front method）是较为常见的一种三角形网格生成方法，适用于结构和非结构化的三角形网格单元生成，经过改良后也可用于四边形网格单元.该方法的基本方法是，从区域的边界开始，按一定的方向形成一个前沿单元，并在此基础上生成下一个满足一定要求的单元，同时更新上一个前沿单元，以此重复，直至充满整个区域.使用前沿推进法时，可通过引入和改变单元尺寸函数来控制生成的子单元大小，在应力集中或区域图形有突变处加密单元，进而让网格划分后的单元和数据更符合有限元计算的精度要求.

映射法是以手工的方式将复杂区域人为地划为简单的区域，并将其映射到可以生成网格的规则区域.它的特点是算法简单、形成单元质量高、速度快，既可生成结构化网格亦可生成非结构化网格.映射法将复杂的求解区域通过坐标的转化变成形状规则的几何图形，然后在新的坐标下对规则的区域进行网格划分，最后把网格划分的结果转化到原坐标中，从而得到了经过坐标映射变化而来的网格划分图形.但是在曲面网格中产生的良好单元映射到原坐标时会产生畸变.

栅格法一般可分为栅格叠合与四叉树法，或两者合在一起.先将栅格置放在物体上，节点既可布置在栅格规则点处，亦可在栅格单元内随机设置，可根据所需求解的区域调整，得到较为均匀的网格.再根据栅格与目标图形的求交以删除外部的栅格，但保留内部的栅格作为求解域的网格.删除边界外部栅格后，需调整节点的位置来适应边界条件的要求.

2 结构化有限元网格生成方法研究

笔者所采用的Visual Basic程序语言，相对于C＋＋，Fortran等计算机语言具有结构简单，可视化强等优势.由于传统的可视化界面大都采用输入坐标等方式形成求解区域，在形成复杂图形时非常不方便，例如一个简单的四边形便要输入8个坐标.为了弥补这一不足，笔者采用了VB交互式CAD技术［8］.交互式CAD技术比一般的计算机绘图技术要复杂一些，在交互式CAD系统中，不仅可以实现用鼠标绘图，还可以选择单元，对选中的单元进行复制、移动、删除、划分等操作，为了实现这样一些功能，交互式CAD系统不仅要考虑图形的数学模型，还要在数据结构、内存管理等方面做出整体筹划.传统的数据输入方式是以文件的形式将图形控制点的坐标输入，再按一定的顺序连接起控制点.在这个过程中，具体的绘图过程无法控制，是黑箱，只有输入和输出是可见的，为了得到想要的求解区域必须在稿纸上对每个控制点的坐标进行精确的求解.当求解的区域较为复杂，图形的生成就显得异常繁琐.另外，这种绘图方式得到的图形不能进行修改和编辑，必须要修改数据文件.而这些需要修改的数据又很零碎的存放在大的数据文件中，很难找出相对应的图元数据.在传统的有限元计算中经常会遇到数据的输入和修改带来的一系列问题，特别是三维的有限元计算，要在三维空间中找到出现问题的点，然后查找相应的数据文件，对其修改.交互式CAD的绘图和建模技术对数据输入和修改带来了突破性的进展，笔者采用的交互式有限元网格生成，可以在屏幕上移动鼠标光标，根据光标处的坐标进行绘图，这样整个绘图的过程就可以方便地控制.由于采用了特殊的数据结构保存数据，在图形的形成和划分过程中可以方便地对图元进行选择、修改和编辑.

在网格划分时采用VB中的“类”这一特殊的形式作为描述对象，可以有效地集成各种具有类似属性和方法的代码，并将其存在内存中，方便下次调用时找出对应的代码并加以改动.例如，用鼠标绘制直线和圆弧时同样是单击左键，但出现的效果分别是一条直线和一段圆弧，两者可以放在同一个“CComand”类里面，而在直线“CCreateLine”和圆弧“CCreateCircle”两个类里分别添加不同的代码.使用这样的方式可有效地规避VB不提供对象继承的缺点，让一些类似的模块公用，有效地节省了代码空间.

我们的生成思路是先将一个复杂的求解区域人为地划分为若干个四边形或三角形区域，再对每个子单元进行网格划分.由于四边形网格在有限元计算精度上的优势，所以采用了四边形单元作为基本单元，而将少数三角形单元视为一边退化的特殊四边形.要提高有限元模拟的精度就必须提高网格划分的质量，譬如在构件薄弱处、易产生应力集中的部位对网格进行加密，即求得合理的网格密度分布.由于要考虑到几何形状、划分的单元数以及网格密度的过渡等诸多情况，一般可采用Laplace方程作为划分区域内网格密度函数的指导，使得网格密度分布连续且过渡光滑.

其中：u为网格密度分布函数；Ω为计算区域；Γ为计算区域的边界；n为边界Γ的法向方向.

由于生成的四边形单元是独立的单元，而每个独立单元的网格划分算法又略有差异，导致它们之间边界的处理要格外谨慎.计算机可能会把边界上非常接近的点视为两个点从而令单元和节点号的生成产生混乱，处理的方法可将相近的两个网格点做x，y向比较，小于某一界限值的即认为是一个点.可设一个函数Function distPtoP计算点与点之间的距离为

再对圆弧的角度编程，并区分出不同的象限的各种情况，即其中：t2为终止角；t1为起始角；S为圆弧长.圆弧坐标为：x＝R·cos t1；y＝R·sin t1.

调用Function distPtoP和Function Get Angle计算半径和起始角、终止角.利用VB中的Circle命令画圆弧

网格划分的一般思路是将四边形的四条边独立看待，可以用插入等比数列等方式控制网格的疏密.

平面有限元网格划分时，可按图1所示的流程进行.

图1 有限元网格划分的流程图Fig.1 A flow chart for finite element grid dividing

3 有限元网格划分实例

例1 对于一个板中开了2个圆孔的构件可以划分为16个带弧边的四边形和16个直线四边形，由于这些子区域有的完全相同，可使用镜像功能.靠近圆孔处的单元要密集些，然后依次向外部扩大，输入一个比例系数为1.1的等比数列即可，再输入划分的单元数，以1／4圆所在的弧边四边形为例，在两个方向上分别为6和6，单击划分就可得到36个按规则排列的子单元，如图2所示.

图2 含2个圆孔的平面有限元网格划分Fig.2 Finite element grid for a plane with 2 holes

例2 如图3所示的曲柄可视为由若干个双边为弧边的四边形和4个一边为弧边的四边形组合.与上例相同，输入所需的比例系数和划分单元数即可划分得到了曲柄的有限元网格.

图3 曲柄的平面有限元网格划分Fig.3 Finite element grid for a crank

4 结束语

参照当前比较成熟的四边形网格划分算法，针对边界较复杂的小型构件并采用Visual Basic程序语言开发出了四边形单元的有限元网格划分程序，可以对复杂的平面区域进行划分，得到较高质量的四边形单元.生成的结构数据合理，为下一步进行平面有限元的计算奠定了基础.

［1］吴淑芳，张树仁.四叉树法生成网格的几何复杂度［J］.兵工学报，2000，21（3）：282-285.

［2］关振群，宋超，顾元宪，等.有限元网格生成方法研究的新进展［J］.计算机辅助设计与图形学学报，2003，15（1）：1-11.

［3］杜平安.有限元网格划分的基本原则［J］.机械设计与制造，2000（1）：34-36.

［4］马新武，赵国群.全自动四边形有限元网格生成—I：区域分解法［J］.塑性工程学报，2007，14（4）：105-109.

［5］赵熠，赵建军.前沿法生成四边形网格的改进方法［J］.机械工程学报，2007，18（3）：308-312.

［6］BLACKER T D，STEPHENSON M B.Paving：a new approach to automated quadrilateral mesh generation［J］.Int J Numer Mesh Engng，1991，32：811-847.

［7］SARRATE J，HUERTA A.Efficient unstructured quadrilateral mesh generation［J］.Int J Number Mesh Engng，2000，49（9）：1327-1350.

［8］苏金明.用Visual Basic开发交互式CAD系统［M］.北京：电子工业出版社，2003.

Study of a practical dividing method for the plane finite element grid

PU Jun-ping，YAO Yu-long
（College of Civil Engineering ＆ Architecture，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310032，China）

The generation of grid is the precondition and foundation of plane finite element calculation，but poor units will be generated when there are irregular boundaries，which will affects the calculation results.Referring matured quadrilateral grid generation methods，a Visual basic program based on structured finite element grid portioning is developed，which will generate regular quadrilateral grid.It has the characteristics such as：easy to use，grid density and united quantity could be controlled，the data generated are brief and practicable，especially for finite element analysis of small structures.

grid generation；quadrilateral element；grid density；Visual Basic language

TP391

A

1006-4303（2012）01-0088-04

2010-10-27

蒲军平（1962—），男，新疆乌鲁木齐人，教授，博士后，主要从事结构工程、结构动力学研究，E-mail：pjp＠zjut.edu.cn.

（

刘 岩）