时间相关的行波反应谱

黄明开

(协和集团，上海 200040)

0 引言

地震行波效应的研究普遍认为:地震行波效应一般使地震反应比一致输入时小[1，2]，因为从输入输出看，一致输入的输入量总是大于行波输入的输入量。但是就像活载分布的结构影响一样，并非满载时结构构件截面的力就是最大的，行波输入也是这样的，当结构跨度不是非常大时，由于地震波速很快，因此其各点之间的输入差别不大，用输入输出来解释是没问题的;当结构跨度超大时，各点之间的输入差别较大，这种差别可以对结构的有些节点和截面产生影响，往往会出现地震效应比一致输入大的情况，跨度135 m的结构在地震波速为500 m/s时的地震反应就会出现增大的现象[3]，也就是说，如果地震波速按常规1 000 m/s考虑，跨度300 m左右的结构的行波效应就应该考虑。目前行波效应更多的用时程分析法进行分析计算，而作为工程应用还不容易实现，也不经济。如果能用反应谱法对结构进行一些即便是定性的评估也是很有现实意义的。常规的反应谱法不能考虑行波效应等复杂的因素，文献[4][5]介绍了一种由Berrech和Kausel提出的非一致激励反应谱法。该方法是反应谱方法的一种推广，它通过对反应谱方法中一些系数的调整，可以在一定程度上考虑行波效应和部分相干效应。目前其简化后的结果仍然难以付诸工程应用，且系数简化所带来的问题还有待进一步评估。本文将推导时间相关的行波反应谱法，为工程中考虑行波效应提供方法参考。

1 理论推导

其中，m为正弦函数和余弦函数的项数;ωi为第i个圆频率;φi为正弦函数和余弦函数的相位;t为时间;Ai，Bi均为常数。根据随机振动理论，a1(t)有无穷多条，根据结构共振原理可知，取得谱值的a1(t)，其主要频率成分必然集中于ωi=ω1的附近。因此a1(t)又可表示为:

其中，O为余项。上式可以进一步近似为:

其中，n为待定系数。则由于行波作用的影响，支点2对应于周期为T1、圆频率为ω1体系的加速度反应时程为:

时—频分析的任务是要描述信号的频谱含量怎样在时间上变化，研究并了解时变频谱在数学上和物理上是一个怎样的概念。在历史上，对时—频分析的研究开始于20世纪40年代[6]。其中有许多著名的学者，特别是伽波尔和维尔受到量子力学中类似研究的启发，他们把部分数学相似性引入时—频分析。他们指出，经典傅立叶分析只能把信号分解成单个的频率分量，并建立起每一个分量的相对强度，但是，能量频谱并没有告诉我们那些频率在什么时候出现。而时—频分布则使我们能够知道在某一特定的时间和频率范围有多少能量，并能够计算在某一特定时间的频率分布，还能够计算这个分布的整体和局部的各阶矩等等。假设距离为d的两支点1和2，支点1对应于周期为T1、圆频率为ω1体系的加速度反应时程为a1(t)，则a1(t)可由傅立叶级数展开，如下式所示:

其中，c为视波速。

将a2(t)按三角函数展开可得:

a1(t)关于时间t取得极值的条件为式(1)右边关于t的导数等于0，即:

即当支点1的加速度取得幅值，即极值时，支点2的加速度值为:

同理可得支点1对应于周期为 T2，T3，TiL圆频率为 ω2，ω3，ωiL体系的加速度反应与支点2对应于周期为T2，T3，TiL圆频率为ω2，ω3，ωiL体系的加速度反应的关系，如式(8)所示。将上述结果推广为多个支点，则第i个支点上的加速度反应值应为一致输入下的谱值的cosθi倍。

其中，Ai(ω)为第i支点的加速度谱值;Amax(ω)为一致输入下的加速度谱值;di为第i个支点与第一个支点之间的距离。

假设一个频率为3.14 Hz的系统，跨度为180 m，当视波速为1 000 m/s时，在支点1取得谱值时，由式(9)可知，支点2的谱值应为支点1的谱值的0.944倍。当各点的谱值计算出来后，就可以按传统的振型叠加反应谱法进行计算结构的反应了。

2 应用前景

对于超大跨度结构而言，通过时间相关的行波反应谱，可以在工程应用中较方便地评估地震的行波效应，为工程实践提供方法依据。对于超高层建筑而言，地震反应会出现时滞问题。即:基底地震反应已经出现了，而顶部还没有任何反应。因为对于弹性体而言，受力到完成变形到传递力是需要时间的。如何评估这样一个问题，中规中矩的就是用波动理论。问题是波动理论就像静力学里面的弹塑性力学一样，其研究的结果能够有很高精度的数学解，但最终却因为前期的诸多假定，让这些结果与实际有差距，不能在工程中直接应用，而不得不采用经验公式。“简单是真的印记”，在高层建筑的高度方向近似地考虑行波效应是比较简单务实的考虑。因为科研的本质也并不在于理论是否难懂，公式是否复杂，而在于是否能够反映客观事实。因为行波反应谱在结构高度方向的作用是正三角形，而风荷载是倒三角形，所以这样组合的结果将比传统的做法更为合理，也更为经济些。当然行波反应谱还需要大量实验和实践的支持和完善。

[1] 楼梦麟，邸 龙.地震行波激励下单层柱面网壳反应分析[J].结构工程师，2005，21(5):48-52.

[2] 楼梦麟，黄明开.上海浦东机场(二期)候机楼水平地震行波效应时程分析[J].建筑结构，2009，39(2):8-11.

[3] 黄明开，楼梦麟.浦东机场候机楼竖向地震行波效应时程分析[J].地震工程与工程振动，2009，29(3):15-21.

[4] Mounir K，Berrrah，Eduardo Kausel.A model cordial combination rule for spatially varying seismic motions[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1993，22(9):791-800.

[5] Yamamura N，Tanaka H.Response analysis of flexible MDF systems for multiple support seismic excitation[J].Earthquake Engineering ＆ Structural Dynamics，1990(19):345-357.

[6] L.科恩.Time-Frequency Analysis[M].西安:西安交通大学出版社，1998.