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浅析苏科版七年级几何教学推理能力的培养

2012-08-16张菊弟

科技视界 2012年18期
关键词:逻辑推理线段证明

张菊弟

(苏州市吴中区东山莫厘中学 江苏 苏州 215107)

平面几何是运用逻辑推理的方法来研究平面图形性质的一门学科。 因此,培养学生逻辑推理的能力是平面几何教学的主要目标之一。 是学生学几何的关键,也是学生学几何的难点。 虽然学生在小学里接触过一些几何图形,但是现在他们对于逻辑推理的思维方法和过程还是完全陌生的。 尽管初中七年级上册还没有要求进行逻辑推理形式的书写,可是到了八年级下册就要求用逻辑推理的形式来解决有关的“证明”了,如果现在不打好基础,那么以后做几何证明题时可能就会感到困难重重! 因此,必须要在七年级做好几何教学的推理论证工作,为今后的几何学习打好扎实的基础。 下面谈谈本人的一些实践与体会。

1 不该忽视的一类证明,初步感受几何推理论证

图1

图2

平面几何入门学习中,我感觉大多数教师在这一阶段教学中对于利用“等式性质”推导线段和角相等的证明不够重视,而事实上,课本上更有相关的习题要求学生掌握证明,苏科版七年级 (上) 课本第115 页习题6.13 如图1 如果AC=BD,那么线段AD 与线段BC 之间有怎样的数量关系?说说你的理由。 另一个方面是,在教学中我作为一个典型例题重点讲解,而且在黑板上写出严格的推理过程和填上每一步的理由依据,证明:∵AC=BD(已知)

∴AC+CD=BD+CD(等式性质)

即AD=BC

证完结束后,我小结如下:实际上,这道题目是方程中等式性质在几何方面的运用,接着就做一个变式练习:如上图如果AD=BC, 那么线段AC 与线段BD 之间有怎样的数量关系? 说说你的理由。 让学生模仿黑板上的证明过程自己试着写出来,初步感受一下推理论证。 同样在学习到角的有关知识点时,尽管书本没有配套的习题,我自编一题几何说理题:已知,如图2,∠AOB=∠COD,请判断∠AOC 与∠BOD 有怎样的数量关系?为什么?在教学中通过分析,让学生回答证明过程,教师板书如下。

证明:∵∠AOB=∠COD(已知)

∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC(等式性质)

即∠AOC=∠BOD

接着做变式练习:已知,如上图,∠AOC=∠BOD,请判断∠AOB 与∠COD 有怎样的数量关系? 为什么? 通过讲和练可以让学生自我进行归纳证法:相同线段(或角)±公共部分线段(或角)=新的相同线段(或角),这是为以后的几何学习做好了铺垫工作。 事实上,在苏科版七年级(下)学习全等三角形时, 经常会利用等式性质去证明线段或角相等的条件,因此,我在这一阶段教学时一直加以重视。

2 重视几何概念教学,逐步感悟几何推理论证

严格的几何推理过程的书写,是从线段的中点概念开始的,因此,在讲解“线段中点定义”时,尤其要重视几何概念的教学,以及几何图形,几何语言的规范书写,这是非常重要的,是学好几何最基本的准备,在教学中我将“线段中点定义”的概念用表格形式列出来,让学生看的更清楚,理解的更深刻。

表1

3 强化几何规范语言的书写,自我实践几何推理论证

在教学中,我发现有些教师对几何语言规范要求的书写不够重视,理由依据也不要求学生写,我认为这种做法对学生学习几何“有百害而无一利”,因为几何规范语言的书写本身是一个难点,如果教师自己不加以重视,那么学生对几何知识的掌握情况就可想而知了。 我认为:我们一开始就要求学生规范的书写几何推理过程,并且每一步都要求写出理论依据,教师示范,学生模仿,扎扎实实地进行严格的训练,打好基础,当然开始讲解例题时节奏可以慢一些,好让学生听懂,真正理解。 如果我们让学生自己直接写出几何的证明过程,很多学生会感到困难重重,甚至无从下手,这时我们可以出示有填空形式的证明题,例如学填依据训练,教学中要善于引导学生“言必有据”,要让学生理解推理论证的每一步之间都有严密的逻辑顺序关系。

例如1:课本七(下)第9 页练一练2

如图3:(1)如果∠1=∠2,根据______,可得AB∥CE;

(2)如果∠2=∠E,根据______,可得AD∥BE;

(3)如果∠1+∠B=180°,根据______,可得AD∥BE。

图3

图4

我们还可以让学生进行推理过程的训练,使学生熟悉推理论证的每一步过程,并能明白证明格式的规范要求,作为推理论证的书写样板,由易到难,一步一步地培养学生的推理论证能力。 例如七(上)课本第117 页上的一道习题:已知,如图4,∠AOC 和∠BOC 互为邻补角,OD,OE 分别是∠AOC,∠BOC 的平分线。 求证:OD⊥OE,我设计成如下的推理填空形式:

证明:∵∠AOC 和∠BOC 互为邻补角(______)

∴∠AOC+∠BOC=(______)

∵OD 是∠AOC 的平分线,OE∠BOC 的平分线(______)

∴∠1+∠2=______+______

即∠______=90°

∴OD⊥OE(______)

4 深化推理论证的基本方法,寻求推理论证的途径

对于七年级学生来说,对几何证明题不知从哪里下手证明的一个主要原因,就是没有掌握推理论证的思考方法。 因此,我们在教学中要深化推理论证的基本方法——分析法和综合法的教学,使学生明白分析法:是从所要求证的结论出发,经过研究分析这一结论成立需要具备什么条件,如此逐步向上逆推,一直推到题目的已知条件,可以和学生归纳为:“择果索因”,也就是“拿着结果去寻找原因”。 而综合法是从已知条件出发,通过一步步推导,最后推得所要证明的结果,可以简单的概括为:“由因导果”, 也就是 “由原因去推导结果”,通过方法的引导,使学生具有一定的解题思路。 而在具体解题遇到困难时,还可以将分析法和综合法相结合,我们把它称为“两头凑”的解题方法,事实上在具体解题时非常有用。

例如:已知,如图5,把两个含有45°角的直角三角板如图放置,点D 在BC 上,连结BE、AD,AD 的延长线交BE 于点F.说明:AF⊥BE.

图5

在教学时,我采用分析—综合相结合,引导学生寻求正确的解题途径,具体如下:

分析法:要证:AF⊥BE,即证:∠AFB=90°,

要证:∠AFB=90°,根据三角形内角和定理即证:∠FBD+∠FDB=90°

我们发现:∠FDB=∠ADC(对顶角相等),因此是否能证:∠FBD=∠CAD

因为在Rt△ACD 中,∠CAD+∠ADC=90°而要使∠FBD=∠CAD,必须要证△ACD≌△BCE,引导学生能否找到证全等的3 个条件,由于两个都是等腰直角三角形,可得:AC=BC,CD=EC,∠ACD=∠BCE=90°,从而找到三个条件可证全等.

综合法:∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形(已知)

∴AC=BC,CD=EC,∠ACD=∠BCE=90°.

在△ACD 和△BCE 中

△ACD≌△BCE(SAS)

∴∠FBD=∠CAD(全等三角形的对应角相等)

在Rt△ACD 中,∠CAD+∠ADC=90°

∵∠FDB=∠ADC(对顶角相等)

∴∠FBD+∠FDB=90°

在△BFD 中,∠AFB=180°-(∠FBD+∠FDB)

=180°-90°

=90°

∴AF⊥BE(垂直定义)

5 注重解题思路的引导,切实培养好逻辑推理能力

在学习全等三角形这一章时,有些常规的证明思路方法在教学中要及时跟学生归纳总结,学生在掌握的基础上将更容易的去解决问题,例如:(1)证不在同一个三角形中的两条线段相等时,通常证这两条线段所在的三角形全等;(2)证不在同一个三角形中的两个角相等时,通常证这两个角所在的三角形全等;(3)当不能直接用全等证线段或角相等时,可以转化成证与第三条线段相等或证与第三个角相等的方法来证明;(4)利用全等证某些角相等,从而证明两条直线互相平行;(5)证两条直线互相垂直时,可以和学生归纳为“由已知直角去证未知直角”的方法,中间需要利用全等将某些角进行转化。 学生有了这些常规解题的思考方法后,做题时将更得心应手,解决问题的能力也将更强。

同时,我在讲解典型例题后经常要和学生一起反思一下解题的思考方法:

(1)这道题目你是怎么想出来的?

(2)这道题目你怎么想不出来?

(3)这道题目的突破点在哪里? 哪个已知条件使你受到了启发;

(4)这种证明思路是否可以推广作为一般方法? 有没有其它方法证明这道题目?

(5)做出这道题目后,你对这个知识点的运用是否有更深的理解? 等等。

例如:我把课本七(下)第123 页第18 题改编成以下的习题,已知,如图6,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为D,E,F,求证:DE=DF

图6

这道题目并不太难,大多数同学都能做出来,证完后我对学生说:“你们自己的证明是怎么想出来的? 可以和同桌互相交流一下想法。看看是否还有其它方法?”在引导学生进行有效的反思后,总结以下几种证法:

证法1:先证△ABD≌△ACD,得出∠BAD=∠CAD,再证△ADE≌△ADF,证出DE=DF;

证法2: 先证△ABD≌△ACD, 得出∠B=∠C, 再证△CDE≌△BDF,证出DE=DF;

证法3:先证△ABD≌△ACD,得出∠BAD=∠CAD,说明AD 平分∠BAC,由于DE⊥AB,DF⊥AC,根据角平分线性质定理,可证DE=DF。

我通过一学年苏科版七年级几何教学的实践,较好的培养了学生的几何推理能力,为今后几何学习打下了扎实的论证基础,采用上述方法培养学生几何推理能力的做法是切实可行的,能全面提高学生的几何逻辑推理能力。

[1]苏科版七年级数学教材.

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