运用几何画板多角度培养创新能力

2012-08-15葛仁福金卫雄王继顺

吉林广播电视大学学报 2012年12期

苏强葛仁福金卫雄王继顺

（连云港师范高等专科学校数学与信息工程学院，江苏连云港 222006）

创新能力，指的是根据一定的目的和任务，开展积极主动的创造性思维，对原有的知识和经验重新加工综合，创造出新设想、新事物的能力。研究表明：相比不具有创新能力的教师，具有创新能力的教师所教的学生更具有创新意识和创新能力[1]。因此，作为培养中小学数学教师的高师数学教育专业，更需要加强学生创新能力的培养。近几年来许多大学生进入师范院校后没有准确给自己将来的奋斗目标定位，有的仅满足于毕业后找个好工作或者通过考研提高自己的知识水平以便找一个更好的工作，有的对以后的就业形势比较悲观而自暴自弃放松了对自己的要求，这在一定程度上影响了他们创新意识和创新能力的培养。《几何画板》课程的开设，为培养数学教育专业学生的创新意识和创新能力提供了一个实践园地[2]。

一、几何画板简介

几何画板软件由美国Nicholas Jackiw设计，Nicholas Jackiw和Scott Steketee程序实现，key Curriculum Press公司制作并出版，是一个优秀教育软件，代表了当代专业工具平台类软件的发展方向。几何画板的创新之处在于以数学为根本，以“动态几何”为特色来动态表现设计者的思想。所谓“动态”，指的是所作的图形之间的几何关系会在运动变化的过程中保持不变。几何画板不仅仅是一个课件制作工具，同时也是一个学习工具和研究工具。下面从三个角度来谈谈运用几何画板培养学生创新能力。

二、基于几何画板培养学生创新能力

1 创新课件设计，在直观中抽象数学

PowerPoint是应用于课件设计的常见软件，利用它制作一些章节目录、授课提纲、文字以及一些图解文字的动画，上课时把它投影到屏幕上，然后再加以发挥，这种课件是“课本搬家”式的[3]。几何画板引入到中国，改变了这种课件模式，它具备启示性、动态性、操作性、兼容性等等特点，被誉为“21世纪的动态几何”[4]。随着几何画板在中国应用的越来越广泛，更多的功能被开发出来。

比如，概率是中学数学中的一个难点，教科书中设置了一个投币实验：“抛掷一枚硬币，下面向上是一个随机事件。请与同桌一起进行100次这种试验，统计正面向上的频数及频率。正面向上的频率是否具备某种规律？”让学生亲自动手实验获得数据，为发现规律提供帮助。如果在课堂上进行这种实验，显然费时也不现实，但是利用几何画板就可以很好地进行模拟，设计制作也只是采用了几何画板提供的一些基本命令，但体现了课件设计者的一些创新思想。在本课件的制作中，设计者的创新点在于利用符号函数sgn判断正负来控制硬币的正反面[5]。

再如，教材中余弦定理的证明是采用了向量法，不太直观，而利用图1所示的课件，能方便定理的理解。大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和再加上两个平行四边形的面积。拖动点C，可以观察到三角形ABC在变化，当角C变为90度时，平行四边形消失，此时的余弦定理即为勾股定理。

图1 余弦定理证明

2 创新自主学习，在实验中体会数学

学习数学的一个重要环节是了解数学背景、获得数学经验，把握几何关系，而关系是在变化中把握的，传统的教学不可能有变化的过程，但几何画板提供了变化的可操作的过程，并且能在变化的过程中揭示不变的规律。在教师的指导下，学生可以利用几何画板针对某些教学内容亲自进行操作，通过任意拖动图形，增加对图形的感性认识，形成丰富的几何经验，加深对数学知识的理解和体会。几何画板突出了学生的主体地位，学生不再被动地接受知识，而是主动地探索知识，“知识不是被动接受的，而是认知主体积极建构的”，这是建构主义理论的核心。自主学习改变了传统的以学校课堂为中心，教师讲，学生听的教学模式，教师也不再简单的向学生灌输知识，而是设计实验情景，组织指导学习过程，评价学习成效。运用这种“实验数学”的教学模式，学生始终保持着浓厚的学习兴趣，增强了学好数学的信心，学生动手操作，使实践能力、观察能力、归纳能力等都得到很好的锻炼，教学效果也比较好。自主学习有助于发挥学生的积极性和创造性，有助于培养学生的创新能力，这也符合现代教育思想，符合素质教育的要求[6]。

比如，圆幂定理是对相交弦定理、割线定理和切割线定理统一归纳的结果。教材中先讲授了相交弦定理，利用几何画板很方便地制作一个课件见图2，通过在圆内拖动点P，学生可以发现PA·PB=PC·PD，验证了相交弦定理结果的正确性，当进一步把点P往圆外拖时，两个乘积依然保持相等，这其实就是割线定理，当拖动点P使得一条割线变成切线时，结论当然也成立，这其实就是切割线定理，这样，学生通过一个简单的课件，通过简单的实验就得到了圆幂定理的全部结论。

图2 圆幂定理

再如，固定一条线段的顶点，让另一顶点在某个定圆上运动，线段的中点的轨迹是什么？很多学生经过简单思考就可以得到结论是圆，但如果问线段的垂直平分线的轨迹是什么，这就是一个比较难回答的问题了。光凭自己的想象或者动手画图是比较难的，但利用几何画板，这个问题就比较容易解决了，见图3。有的学生尝试着将线段一顶点移到圆内，奇迹出现了，包络线从双曲线变成了椭圆，一个简单的拖动，得到了一个新的结论。学生的主动性、创造性得到了发挥，创新能力得到了锻炼。

图3 神奇的包络

3 创新科学研究，在思考中创造数学

数学教育要重视让学生自学，因为教师能指点的总是十分有限的[7]，而学生可以自己了解的及需要自己去了解的，却是无穷无尽的，作为培养中小学数学教师的师范院校，更要让学生学会自主学习，学会独立思考。独立思考能力是一切从事科学研究工作的青年都必须具备的，在教学中和课后要给学生独立思考的机会和时间，灌输式的教学手段使学生从来也没有想到过要和书上有不同的看法或做法。发现和创新、独立思考和养成自主分析问题的习惯，对学生未来的发展是非常重要的。1995年美国《数学教师》杂志报道过两个初中二年级学生借助几何画板找到任意等分线段的新方法，1997年我国也有初中生利用几何画板研究出了证明“蝴蝶定理”的新方法并推广了“广义蝴蝶定理”，另外，我国中学生发现了任意等分线段的第三种方法[8]，这些无疑说明了几何画板在培养学生思考能力、创新能力方面的作用。

有研究者总结了椭圆的26种画法，双曲线也有多种画法，文献[9]中介绍的第一种画法见图5左图。其原理是，以固定线段AB的长度表示定义中的2a，P为以F1为圆心，AB长为半径的圆上一动点，PF2的垂直平分线与PF1的交点M的轨迹即为双曲线，当拖动点F2至圆内时，轨迹变为椭圆，有的学生思想到这儿并没有停止，他突发奇想，如果直线PF1换成另一条不经过F1的直线，那轨迹又会怎么样，利用几何画板提供的分离点命令，他得到了新的轨迹，而且轨迹随着点M的拖动也在不断地变化，学生的发散思维得到了锻炼，创新能力得到了提升。

道路是平直的，汽车的轮胎都是圆形的，这是常识。如果汽车的轮胎是正方形的，路面仍然是平的，显然坐起来会颠簸得厉害，那么要如何设计路面，才能使汽车平稳行驶。通过几何画板的研究，可以解决路面的设计。

几何画板提供了强大的迭代功能与图形处理能力，通过多次的迭代映射，可以充分发挥学生创新能力制作出各种漂亮的分形图形。分形具有五个基本特征：精细的结构；形态结构不规则；局部与整体的自相似；分形维数是分数；可由迭代生成。一些常见的分形图形都能在几何画板中得以实现，例如Koch曲线、Sierpinski三角形、二叉分形树、“三翅鹰”、Mandelbrot集、Julia 集、Cantor集等。