美国《州共同核心数学标准》解读

范文贵，李伟华

(1．天津师范大学初等教育学院，天津 300387; 2．抚顺师范高等专科学校，辽宁抚顺 113006）

美国《州共同核心数学标准》解读

范文贵1，李伟华2

(1．天津师范大学初等教育学院，天津 300387; 2．抚顺师范高等专科学校，辽宁抚顺 113006）

美国州长协会最佳实践中心和州首席教育官员理事会共同颁布了首部《州共同核心数学标准》。《标准》阐述了幼儿园、1～8年级、高中三个阶段的教学内容。《标准》旨在实现如下特征:发展学生数学的实践能力、强调理解数学、技术对数学产生巨大影响、明确了美国中小学生数学素养内涵。标准的研制工作与国际基准存在差距，几何内容的设计尚需教学实践的检验。

美国;《州共同核心数学标准》;数学素养

2010年6月2日，在亚特兰大市举行的一个新闻发布会上，美国州长协会最佳实践中心和州首席教育官员理事会共同颁布了首部《州共同核心数学标准》［1］，以下简称《标准》。该《标准》将对美国基础教育未来的走向影响深远。［2］《标准》不仅重视程序性技能，同时重视概念性理解，以及掌握两类知识之间的联系，确保学生掌握走向未来所需的关键知识。该标准的数学部分旨在解决美国数学不够连贯和重点不突出的问题，解决美国数学课程宽泛而不够深入的问题。

一、《标准》的内容结构

(一)幼儿阶段

在幼儿阶段，教学内容主要集中在两个重要领域:一是正整数的表征(描述)、联系、运算、初步的物体集合;二是描述形状和空间。在幼儿园期间，孩子应该把学习时间用在数的学习上，而不是其它主题。幼儿应学会应用数字，包含写出数字、表征数量、解决与数量有关的问题，学会选择、合并和应用有效策略来解答数量问题。包括快速数出较少量的物体集合的基数，数出给定数目的物体，数出并集合物体的数目，从一物体集合中拿走一些后再数出剩余物体的数目。学会用几何思想(形状、方向、空间关系)和几何词汇来描述他们生活的现实世界。能够识别、描述基本的二维图形，如四边形、三角形、圆、长方形、六边形，同时用不同的方法描述现实世界;同样的还有三维形式，如立方体、锥体、球、圆柱。

(二)1～8年级

1年级:逐渐深化对加、减法概念的理解，强化20以内加、减法策略学习;发展对正整数和数位作用的理解，包括个位和十位的组合;理解长度单位制，并重复用标准长度单位来测量长度;说明几何图形的特征，分解和组合几何图形。

2年级:拓展对十进制计数法的理解;熟练地建立加、减法算式;使用测量的标准单位;描述和分析图形。

3年级:理解整数的乘、除法运算，掌握100以内乘、除法的运算策略;发展对分数的理解，尤其是单位分数;发展对长方阵列和面积的理解;描述和分析二维图形。

4年级:理解多位数乘法并熟练掌握其运算策略，发展对除法的理解并找到被除数是多位数的除法的商;理解等值分数，掌握同分母分数加、减法和分数乘以整数的运算;理解几何的特征，可以基于它们的性质加以分析和证明，如平行的边，垂直的边，特殊角测量和对称性。

5年级:熟练掌握异分母分数加、减法运算，理解分数乘除法(限于单位分数除以整数和整数除以单位分数);将除法扩展至被除数是两位数的运算。在位值系统中理解小数，理解十分位到百分位的小数运算;理解体积。

6年级:将比例、比率与整数乘法和除法联系起来;能够使用比例和比率概念来解决问题;理解分数除法;将自然数概念扩展到有理数系统，其中包括负数;书写、解释、使用式和方程;发展对统计思维的认识。

7年级:促进学生理解和运用比例关系;理解有理数运算，解决代数式与一次方程问题;解决问题涉及按比例做图和非正式的几何做图，解决二维和三维图形中涉及面积、表面积和体积问题;基于样本对总体做出推论。

8年级:经历推理，建立代数式和方程，包括在双变量数据之间利用线性方程建立关联模型，并学会求解线性方程和线性方程组;掌握函数概念，能够利用函数来描述定量关系;使用距离、角度、相似、全等，分析二维和三维空间和图形，理解并运用勾股定理解决问题。

(三)高中数学标准

高中的标准强调数学建模，使用数学与统计对实验情景进行分析、优化理解、改进决策。为给学生进入大学或走向社会打下坚实的基础，高中课程标准规定了所有学生应学习的数学。

1．数与量

数与数系:从幼儿园到八年级，学生不断地扩展他们的数量概念。在8年级，学生学习有理数与无理数形成实数;在高中，学习虚数，由实数和虚数组成复数。量:在高中，学生遇到更多的单位数，如加速度、货币折算率、人均收入、平均每场比赛得分、击球平均数等等都与量有切实的关联。另外，量化在科学研究中也是一个重要的方法。

2．高中代数

代数式:理解括号的使用规则和运算顺序，确保每一个代数式是明确的。创建一个从具体事例中抽象出来的表达式。阅读与理解表达式，分析其基本结构。理解同一个表达式可以表示出不同的意义。方程与不等式:有些方程给定的数系范围没有解，但在一个较大的数系范围就有解。可以将解方程的方法迁移到解不等式的过程中。

两个人说着，吃完喝完之后，打的来到付玉的住处，这个小区并不靠海，在金牛岭的后面。付玉住在一栋楼的八楼。

3．高中函数

能够利用函数表达式解释许多重要现象，其中线性函数和指数函数是比较重要的两个函数。包括递归定义的函数在内，一个绘图工具或计算机代数系统可用于这些函数的性质及其图像的研究，并建立函数的计算模型。

4．高中建立数学模型

模型设计取决于多项因素:创建和分析模型受数学、统计和技术水平的制约，也涉及到如何识别变量以及它们之间的关系等因素。数学模型见解之一，就是基于看似不同的现实情境，却可以构建本质上相同的数学或统计模型结构。

5．高中几何

高中几何开始学习更精确的定义并开展演绎证明。学生可以从几何变换角度理解全等、相似、对称性的概念。理论基础是刚性的运动:平移、旋转、反射以及这些变换的组合都是以假设保持距离和角度不变为前提的。反射和旋转具有特定类型的对称性，如等腰三角形具有反射对称性，它的底角是全等的。学会运用判断三角形全等的公理以及判断三角形相似的公理。利用勾股定理，定义角的正弦、余弦和正切。再将勾股定理推广到一般三角形的余弦定理。

《标准》强调了概率与统计的内容，有多达50个条目涉及概率、统计的相关内容。基于数据，统计为描述变异性提供工具，以便人们做出决定。从收集、展示、概括、检验的数据中，解释发现的模型和偏差。利用概率模型，人们可以数学化地描述随机过程:一个列表或相应结果(样本空间)的描述，实际上就涉及概率问题。

二、《标准》旨在实现如下特征

发展学生数学的实践能力。《标准》特别强调:所有的学生都需要发展数学的实践能力，如解决问题、建立关联、理解数学思想的多种表征、证明推理等;所有学生都了解数学内容的概念性知识和程序性知识，以及掌握两类知识之间的联系;课程材料应根据有关儿童如何学习数学的研究来组织安排预期的学习进程;在整个数学课程中，所有的学生都有机会进行推理，并让他们相信数学是睿智的、赋有价值并切实可行的。《标准》强调数学建模的思想，识别模式或结构的能力，这是NCTM所没有涉及的。同样NCTM中倡导的数学交流，《标准》也未提及。

强调理解数学。能够对数学论断(mathematical statement)为何为真、记忆数学规则的来源进行判断。例如，能够记得乘法公式(a+b)(x+y)展开规则，能解释这个规则是如何而来的。强调理解有助于解决不熟悉的问题，理解数学算理，并在相似的任务中，会有更多成功的机会。数学理解和程序性的技能同样重要，这两者都可以通过繁复的数学任务予以评价。

技术对数学产生巨大的影响。数学工具(或数学技术)的使用并不鲜见，在我国的课程标准中也有相关要求，但将其提升到核心的数学能力的组成维度无疑是突破性的。这是现代数学技术发展(特别是计算机技术发展的支持)对于数学家工作方式及数学思维方式的重要影响，同时这种影响也体现在数学教育中。这是数学作为数学教育基础平台的典型例子。

三、明确美国中小学生数学素养内涵

有问题意识，并能坚持不懈地解决问题。具有数学素养(Mathematically proficient)的学生往往表现出诸如能够自我解释一个问题的含义并积极寻求解决问题的突破点;分析已知条件、限制条件、联系性和目标;猜测多种问题解决形式并设计解决问题的路径，而不是简单地只尝试一种解决问题的方法;考虑相似的问题，尝试特殊案例并简化原始问题的形式以获取解决方案;监控、评价自己解决问题的进展过程，并在需要时做出改变等能力。基于问题的背景，高年级学生会转换代数式或利用图形计算器的图形表示它们，以获得需要的信息。

抽象、量化地思考。具有数学素养的学生能理解问题情境中的数和数量关系。解决涉及的数量关系时，能力得到互补:脱离情境研究问题的能力——将给定情境抽象化，并利用符号表示;另一能力是融入情境研究问题的能力——在解题过程中，如需要就停下来考察符号所代表的指示物。量化的思考涉及数量单位、关注数量的含义，而不是仅仅计算，并能够熟练地使用不同运算性质研究问题。

构建切实可行的论证，评判他人的推理。在论证问题过程中，具有数学素养的学生能够理解并使用已知条件、定义和以前得到的结果。能够提出猜测，并建立合乎逻辑的证明来探究猜测的真实性。能把原问题分解成若干小问题，并能够利用反例进行论证。证明自己的结论是正确的，能与其他人沟通并回答其他人的疑问。

建立数学模型。具有数学素养的学生能应用他们掌握的数学知识来解决在日常生活中、社会上和生产实践中出现的问题。在低年级，这可能如列出个加法等式来描述一个情景一样简单。在中年级，一个学生会应用比例推理来规划学校活动或分析一个社区问题。到了高年级，一个学生可以用几何理论解决一个设计问题或者用函数来解释投资中的一个量决定另一个量的关系。具有数学素养、能应用其掌握的知识的学生，可以提出假设，并能将复杂情况简单化，同时意识到将来还要改进这些方案。在实际情况中找出重要的数量，能够使用图形、双向表格、图表、流程图和公式等建立数量之间的关系。可以从数学的角度分析这些关系的特征，进而得出结论。经常基于现实情境解释数学结论。

策略地使用适合的工具。解决数学问题时，具有数学素养的学生会考虑可利用的工具。这些工具包括铅笔和纸、具体的模型、尺子、量角器、计算器、电子数据表、计算机代数系统、统计包，或者是动态几何软件。当需要某个工具时，具有数学素养的学生利用适合他们的工具来做出正确的结论，同时认识到使用工具的好处和局限。

关注精确性。具有数学素养的学生尝试准确地表达想法。在同他人讨论中，试图在自己的说明中使用简洁的解释。陈述自己所选择符号的含义，包括恰当地使用等号。关注特殊的度量单位，并画出数轴来阐明问题中相对应的数量。在低年级，学生能够彼此之间认真解释对问题的理解。到升入高中，学会检查自己的论断。

在重复的推理中，探求并表达规律。具有数学素养的学生认识到如果可以重复计算，既可找到一般的方法又可以找到计算的捷径。解决问题时，具有数学素养的学生一直关注问题解决的全过程，而不是只考虑其中的某些细节，并会不断地评估中间结果的合理性。

四、《标准》评析

寻找教学指导与教师的教学创造之间的平衡态。该《标准》只是数学课程体系的一个起始点，只描述了学生在理解和使用两个维度需要到达的程度，并未过多涉及教学过程、教学方法等方面的问题，这在一方面给予了学校、教师及教材编写者更大的进行课程和教学实践研究的空间，但同时较少涉及教学过程、教学方法的指导，这样难免会造成缺少通过教学过程、教学方法承载课程理念的环节，进而无法完全实现课程与教学的统一。

标准的研制工作与国际基准的差距。《标准》中许多有关算术与运算、位值制内容的呈现远比排名靠前的国家的数学标准要滞后一、两年甚至更多。也就是说美国学生学到的数学程度要低于其它国家同年级的学生，因此无法证明共同标准与排名靠前国家的数学标准处于同一水平。

几何内容的设计尚需教学实践的检验。《标准》在代数方面的内容，特别是对于帮助学生进行代数运算、代数思想的理解方面下了一定的功夫，这无疑为其它数学内容的学习(如函数、解析几何)打下了坚实的基础。而对于改革的关注点——几何，《标准》采用了变换几何作为主要证明工具的方式。对几何部分内容的处理方法很是罕见，比如，它用欧氏几何及其拓展内容来定义全等和相似的概念，并有一定的定理证明的要求。从数学上来说，这一做法是严谨的，但一般认为只有到大学数学专业的几何课上才会用此方法。该部分内容的设计尚需教学实践的检验。

［1］The National Governors Association Center for Best Practices(NGA Center)and the Council of Chief State School Officers(CCSSO)．Common Core State Standards for Mathematics［DB/OL］．http://www．maine．gov/education/lres/math/standards．html

［2］杨光富．美国首部全国《州共同核心课程标准》解读［J］．课程·教材·教法，2011(3)．

Interpretation of the Common Core State Standards for Mathematics of the US

FAN Wengui1，LI Weihua2

(1．Primary Education College，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China;
2．Fushun Teachers College，Fushun Liaoning 1130061，China)

The National Gvoernors Association Center for Best Practices and The Council of Chief State School Office released theCommon Core State Standards for Mathematics．The standards include teaching contents of kindergarten，grade 1 －8，and senior high school，whose characteristics are as follows:develop practical ability of students;emphasize understanding of mathematics;technology plays an important role in mathematics;definite the mathematical proficiency of American primary and secondary students．There is gap between the development work of Standards and international benchmarks;design of the content of geometric still needs to test in teaching practice．

the USA;Common Core State Standards for Mathematics;mathematical proficiency

2011－12－11

范文贵，天津师范大学初等教育学院教授，博士，硕士研究生导师;李伟华，抚顺师范高等专科学校初教二系讲师，硕士。

［责任编辑:崔一心］