数的起源和算具的发展

陶济林

（太原市财贸学校，山西 太原 030006）

当你按着计算器的数字键计算时，当你使用现代计算机处理大量数据时，你可曾想到，我们的祖先是如何计记数和计算的呢？让我们沿着历史的脉络一起来探寻数的起源和算具的发展吧！

1 数的产生和记数符号的出现

人们对于数的认识，并不是天生就有的。远古时代，人们靠采集和围猎为生。有无猎物或果实，关系到古人的生存，而“有”和“无”的问题，孕育了人类最初的数学思想。对“有”的进一步认识，又产生了另一个数学问题：“多”与“少”，要想知道有多少果实或猎物，就要作个比较，和什么作比较呢？被拿来作为比较标准的东西就成了最初的记数工具。

手、耳、脚等人体器官成为了人类最早使用的天然记数工具。如果采集到的果实或打到的猎物与一只手的手指数相同，就称其个数为“手”，如果与人的耳朵一样多，就称其个数为“耳”，如果与整个人的手指及脚趾数加起来一样多，就称“整个人”。所以，一旦成为记数的工具，一根手指就不仅仅是手指，它可以表示一头羊、一个果子、一根木头或任何别的东西。用手指、脚趾难以长时间记录数据，并且表示的数量有限。经过探索和实践，古人发明了在绳子上打结的方式记数，这在我国古书《易经》《庄子》中都有记载。

后来，古人又想到用小石子或木棒来帮助记数：在一堆待记数的物品中，每取出一个物品时，就放上一粒小石子或一根木棒，渐渐的，人们就习惯用石子或木棒来计算物品的个数，成为了通用的记数工具。

而在世界上，其他民族也大多经历了结绳记数的阶段。古代印加人运用绳结的数量、尺寸、颜色和形状来记录庄稼的产量、租税、人口以及其他资料和信息。印加王室用结绳法传递信息，统治着从厄瓜多尔到智利绵延3 500 km的印加帝国。

随着生产的发展，要计数的物品越来越多，一些计算的结果还需要长期保存。这时用石子、木棒这种机械的、一一对应的办法来记数和计算就出现了麻烦，例如，不能为了计算10 000个物品，就用上10 000个石子或木棒，这暴露了实物计数法的局限性。于是，古人想出了用符号这种画出来的工具来替代石子和木棒记数，使人类的记数方式产生了一次重大的飞跃。

用怎样的符号来表示数呢？世界各地有不同的做法。中国是世界上最早采用符号记数的国家之一。商周时代，我们的祖先已有一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万的符号，并把它刻在龟甲和兽骨上。

大约公元前3 000年，古埃及人已经开始用象形符号来代替实物记数了。公元前2 500年，巴比伦人采用两种基本符号构成了记数符号，它们是用一种截面为楔形的笔在泥板上刻写而成，后人称之为楔形符号。大约公元前6世纪，古希腊人已熟练采用了一种阿卡提数码来记数。同期古罗马人使用7个基本的符号并通过不同的搭配来表示不同的数字符号，即通常人们说的罗马数字。居住在中美洲尤卡坦半岛的玛雅人是印第安人的一个部落，他们使用“·”和“-”两个基本符号记数，“·”表示 1，“-”表示“5”，叫做横点记数法，并采用纵式、二十进制。

公元前2 500年前后，印度出现了哈拉巴数码。公元前后又出现了婆罗门数码和卡罗什奇数码。到了6世纪，印度产生了十进制的位值制数码。8世纪已有了零的符号。印度位值制数码约在9纪传入阿拉伯地区并演变成了阿拉伯数字。我们现在通用的0,1,2,3,4,5,6,7,8,9就是阿拉伯数字，是在吸收古印度记数法和古希腊记数法的基础上发展起来的。

2 计算问题的产生和算具的演变

随着生产水平的不断提高，出现了越来越多的剩余产品，简单的记数显然已不能满足人们的需要，他们遇到了大量加减、均分等问题，于是出现了“计算”问题。在长期的劳动实践中，人们不但制定了数字符号，还发明了加减乘除等数学运算符号，并在17世纪得到了广泛的使用。

在中国，当奴隶制社会从其初级阶段向中级阶段发展的时候，社会的生产力发生了新的变化，原始的计数工具已不能满足社会生产和产品交换的需要，人们便引进了一种统一的、可以代替数字的实物——筹。《夏侯阳算经》将其记数法归纳为：“一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当，满六以上，五在上方，六不积算，无不单张”。而用算筹摆成数来进行计算，称为筹算。它是中国人独创的计算方法，与现代笔算差异很大。这种算具使数字在计算中既直观又抽象，体现了中国古代人的智慧。从我国最早的天文学著作《周髀算经》中可以推定：我国最迟在西周或西周以前就有了筹算，到了春秋战国时期，人们已能熟练运用。

汉朝是我国历史上一个文化的繁荣时期，此时的天文、地理、历法、水文、测量、数学发展到了一个较高的水平。对一些复杂的数学命题只靠筹算来进行，已经不能胜任，于是一些新的计算工具和计算方法应运而生，如：太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹，把头、了知、成数、计数、积算、珠算（使用游珠算盘）、龟算……

据史料考证：算盘在唐代就已经出现了，起初并不完善，经过发展可以用来做加减乘除以及求平方根和立方根等多种运算，是当时一种非常先进的计算工具。它与筹算并存，最终在元代中叶后取代了筹算。我国古代算盘一般含有13档算珠，当中由一根横梁隔开，每档下有5颗算珠，每颗当一，上有两颗算珠，一颗当五。算法主要采用口诀进行。明代数学家程大位在《算法统宗》中，将各种算法编成口诀记载下来，对珠算的普及和传播起到了很大的促进作用。我国的算盘结构简单，好学易懂，运算快捷，携带方便，流传极为广泛。它不仅对中国科技和经济的发展起到过有益的作用，而且流传到日本、朝鲜及东南亚各国，对世界文明作出了重大贡献。算盘被誉为“四大发明”之外的“第五大发明”。即使是在计算机时代的今天，人们还在使用算盘，国际上多次进行的计算速度的比赛中，每次加减法速度的冠军都是算盘，但是乘除法稍慢，为此，又研制出了电子计算器和算盘结合为一体的电子算盘。

文艺复兴运动给欧洲文明带来了曙光。17世纪以后，数学和计算工具的发展重心转移到了欧洲，各种各样的计算机器不断涌现，有力地推动了世界科技的发展。1642年法国人帕斯卡研制出了一台手摇计算机，能计算8位数的加减法，叫做加法机。17世纪70年代德国数学家莱布尼兹研究出了四则计算机。17世纪，苏格兰数学家纳皮尔发明了一种算筹，能进行乘、除、平方根、立方根等运算。1890年美国人口普查中，豪列利特统计机发挥了神威。并在许多大企业的会计业务中发挥作用。

在一些人致力于研究各类机械计算机的同时，出现了另一批计算工具的探索者，他们从另一个角度探索计算工具的改革，这就是模拟计算机的研制。比机械计算机稍早出现和并行发展的各类计算尺，是最早的模拟计算工具。1620年，英国人冈特制造了一种计算尺，它可以把乘、除运算化成加、减运算。1632年，英国人奥特雷德发明了圆形计算尺和有滑尺的计算尺。19世纪中叶以后，出现了有游标的现代型计算尺。后来又制造出了适应各种要求的普通计算尺和专用计算尺。

20世纪初，各种尺算工具广泛流传。在计算机普及之前，许多国家的中学数学课程中都设有计算尺的教学内容。现代计算尺不仅可以做乘除、比例、平方、立方、开方、对数、三角函数、双曲函数等运算，还能解代数方程。计算尺曾被看做是科技进步的象征，但是其准确度依赖于模拟物理量的精确度，限制了其通用性和准确度，并在运算速度和使用方便程度上较电子计算器逊色，最终被后者取代。

3 不断发展的计算机

电子计算机是20世纪人类最伟大的发明之一。从第一台计算机“艾尼阿克”（ENIAC）问世以来，电子计算机已更新了数代。

第一代：电子管计算机。采用水银延迟线做内存，磁鼓做外存。体积大、耗电多、运行速度慢。主要用于科学计算和军事方面。

第二代：晶体管计算机。内存主要采用磁芯，外存大量采用磁盘，输入输出设备有了较大改进。体积显著减少、可靠性提高、运算速度可以达到每秒百万次。有了高级程序设计语言和编译系统，开始用于管理为目的的信息处理。

第三代：固体组件计算机。主要采用中、小规模集成电路。运算速度达到每秒千万次，可靠性大大提高，体积进一步缩小。软件方面进步很大，有了操作系统，开展了计算机语言的标准化工作，并提出了机构化程序设计方法，出现了计算机网络。其应用开始向社会化发展，应用领域和普及程度迅速扩大。

第四代：大规模集成电路计算机。它的出现使计算机发生了巨大的变化，特别是在存储容量、运算速度、可靠性和性价比等方面均比上一代计算机有了较大突破。各种系统软件和应用软件大量推出，功能配置空前完善，应用遍及所有领域，成为人类社会活动中不可缺少的工具。

第五代：人工智能计算机，它改变前几代计算机“计算功能+数据存储”的结构，变为“推理功能+知识储存”的结构，其核心是人工智能。它把许多处理机并联起来处理信息，速度大大提高。它不仅能计算，还能识别声音、文字和图像，及进行语言翻译。

第六代：人工神经网络计算机，它模拟人脑的神经网络结构，满布的微处理器同时运算，信息处理速度大大提高，具有运算、识别、学习、记忆、联想等功能，像人脑一样聪明。虽然他不以单纯的计算为目的，但确有提高人类综合运算能力的美好前景。

计算机在不断地发展，它到底有多大的计算能力难以说清，已有的事实让我们感受到了它的巨大威力，人类有了计算机才算真正插上了计算的“翅膀”。人类创造了计算机，让它越来越有智慧，甚至在计算速度方面远远超过了人的能力，但计算机不可能完全代替人脑，人类会用他们的聪明才智创造出更快、更好的计算工具来实现自己伟大的梦想。