基于人工神经网络的某空间反射镜柔性支撑结构优化设计与分析＊

王忠善，何 欣，付亮亮，田富湘

（中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春 130033）

引 言

反射镜作为空间相机的关键部件，其支撑技术是空间相机工程应用的关键。为保证成像质量，必须对反射镜面型精度及其动态特性特别是一阶频率都有较高要求［1］。支撑结构设计问题一般具有不可重复的高度非线性特点，变量很多而且关系复杂，很难用确切的数学、力学模型来描述。一般工程中都需要依靠有限元分析来进行结构优化设计，但是结构选型和设计的重复性工作，需要大量结构分析的计算量，仅靠输入参数进行有限元计算来得到最优结构的方法显然是不现实的。

人工神经网络在处理这个问题方面有着传统方法无法比拟的优越性，神经网络对输入节点没有限制，它适合解决结构工程中诸多影响因素的问题，神经元中的激活函数本身可以选用非线性函数，它能处理非常复杂的非线性问题，因此神经网络在结构工程中的应用是可行的。现利用人工神经网络的高度非线性逼近能力来对空间反射镜支撑结构进行优化设计，构造一个网络虚拟函数对结构参数与结构响应之间的非线性关系进行模拟，通过有导师的学习方法不断优化虚拟函数，最终找到一个从结构参数到结构响应之间的非线性映射，再从此非线性映射结果中找出使输出结果最优的输入解。

1 反射镜支撑结构设计

优化的反射镜尺寸为φ210mm，厚度20mm。反射镜轻量化后的结构见图1（文中沿用此坐标系）。

基于反射镜挠性安装的原理，文中采用背部周边挠性支撑方式，定位原理如图2所示。三个只提供径向柔性的结构按等边三角形组合作用形成对反射镜的支撑，每个单独的柔性结构在轴向是刚性的［2］，这样组合限制了反射镜的轴向（z向）平移和在镜面平面内的两向转动（绕x、y轴），每个单独的柔性结构在切向是刚性的，这样组合限制了反射镜沿x、y轴的平移和绕镜面法向z轴的转动。

图1 反射镜轻量化结构Fig.1 Lightweighting structure of mirror

图2 共面径向柔性定位原理图Fig.2 Principle diagram of coplanar radial flexible mounting

为符合上面的定位原理，综合考虑几何尺寸、工艺性能和重量等要求，设计的柔性支撑结构如图3所示。为使柔性结构在轴向提供足够的刚度并避免反射镜沿其法线方向平移，柔性结构在轴向要有一定的高度。这样即使由于温度变化引起了反射镜的径向伸缩运动，也不会在反射镜内产生应力［3］。为了充分适应反射镜的温度变形，应谨慎选取柔性结构的径向厚度和切向的长度，从而既使反射镜面形达标，又能保证反射镜组件的动态刚度特性。

该柔性支撑结构主要提供径向柔性和切向刚性、轴向刚性，如图4所示。

图3 柔性支撑结构Fig.3 The flexible structure

图4 柔性结构参数图Fig.4 Parameter of the flexible structure

柔性环节优化问题就是三个方向刚度匹配的问题，即保证柔性悬臂长度l和最薄处横截面宽度b和高度h三个尺寸参数的优化组合，使得反射镜面形和动态刚度达到要求。从柔性支撑的结构形式和分析结果都可以看出，柔性环节的高度对镜面面形及一阶频率影响最不敏感，而且限于反射镜空间位置约束，柔性环节的高度参数变化范围有限，因此根据设计经验取为12mm。下文的优化主要针对柔性环节的宽度和长度这两个参数。

图5 基本神经元模型Fig.5 Basic neuron model

2 基于BP神经网络的柔性环节优化设计

2.1 人工神经网络结构确定

作为神经网络基本单元的神经元模型有三个要素：一组连接、一个求和单元和一个非线性作用函数。其模型如图5所示。

用数学式表达为：

式（1）中，xi表示输入，yk表示输出，βik表示连接权值，φ（）表示激活函数。

从作用效果看前馈网络主要是函数映射，可以用于模式识别和函数逼近。考虑文中的应用，选择前馈网络结构，其拓扑结构为有向无环的前向神经网络，各神经元接收前一层的输入，并输出给下一层，没有反馈。节点分为两类，即输入单元和计算单元，每一个计算单元可以有任意多个输入，但只有一个输出（它可以耦合到任意多个其他节点作为其输入），输入层和输出层节点与外界相连，其他中间层为隐含层。

在已经确定反射镜结构的基础上，考虑支撑结构柔性参数对反射镜面型精度一阶及动态特性的影响，因此神经网络输入为柔性环节的厚度、高度和长度，输入层神经元数为3，神经网络输出为反射镜面型rms值及反射镜组件一阶模态频率，故输出层神经元数为2。

对于3层前馈网络，有以下的万能逼近定理：只要隐含层节点数足够多，能以任意精度逼近有界域上的任意非线性连续函数［4］。显然，这是一个存在性结论。在设计BP网络时可参考这一点，应优先考虑3层前向网络（即有1个隐层）。靠增加隐含层节点数来获得较低的误差，其训练效果要比增加隐含层数更容易实现。根据经验隐含层神经元数一般不能少于输入与输出神经元数之和［5］。采用单隐含层结构，隐含层神经元数为10。

隐含层激励函数选择广泛应用的Sigmoid函数，即：

式（2）中，u表示隐含层节点的输入。

输出节点的激活函数根据应用的不同而异，如果前向网络用于函数逼近，则输出层节点应该用线性函数。网络用作非线性虚拟函数逼近，所以输出层节点选择线性函数。前向神经网络的拓扑结构如图6所示。

2.2 柔性环节样本参数确定

在已经确定反射镜结构的基础上，考虑支撑结构柔性参数对反射镜面型精度及一阶动态频率特性的影响，利用人工神经网络建立非线性映射关系，寻找极小值求得最优解，获取最优结构。

为了获取网络参数，建立训练样本数据如表1所示，表中数据均由有限元分析软件计算得到。由计算可知，在y向重力载荷与5℃温升载荷作用下，数据较差，所以文中训练样本数据就采用此工况下的计算结果［6］。如若采用更多的样本数据，使有限元分析计算量变大，使神经网络模拟非线性失去意义，而且网络泛化结果也表明下面的样本数量足够。

图6 神经网络拓扑结构图Fig.6 Topology structure of neural network

表1 人工神经网络训练样本Tab.1 Artificial neural network training samples

2.3 MATLAB人工BP神经网络实现

MATLAB工具箱提供了方便的神经网络函数，可以实现网络的创建、初始化、和训练。用MATLAB实现人工神经网络的模拟主要包括：（1）数据归一化；（2）数据分类，主要包括打乱数据顺序；（3）建立神经网络，包括设置多少层网络，设置隐含层的传输函数等；（4）指定训练参数进行训练；（5）完成训练后，就可以调用训练结果，输入测试数据，进行测试；（6）数据进行反归一化；（7）误差分析、结果预测、作图等。

2.4 利用网络泛化求得输入最优解

根据指标要求镜面面形值越小、一阶频率越大说明反射镜支撑结构性能越优，采取一阶频率与镜面面形的差值作为判断值，即此差值最大值所对应的输入就是参数最优解。考虑频率值和面形的综合影响，为使频率值和面形值在同一数量级进行比较，程序中采用加权差值Δ＝0.025h－rms。

利用神经网络高度的非线性逼近能力，对输入参数细分量化，输入到神经网络经网络计算拟合给出输出结果。得到输入参数和输出判断值即一阶频率与镜面面形的加权差值Δ的关系如图7所示。

用MATLAB编制程序可知在输出判断值最大点的输入值为b＝3.6mm，l＝29mm。

2.5 有限元分析验证最优解

为充分验证此非线性网络的泛化能力，将得到的最优解再建立有限元模型进行分析，计算结果见表2，一阶振型云图如图8所示。从表中可看出，神经网络拟合的结果和工程分析的结果相差较小，在5%以内。

图7 人工神经网络模拟输入输出非线性关系Fig.7 Nonlinearity between input and output by artificial neural network

图8 一阶振型云图Fig.8 The first step vibration shape

表2 神经网络模拟结果和工程分析结果对比Tab.2 Comparison artificial neural network simulation result with finite element analysis

3 结 论

在反射镜组件设计中，确定合理的支撑结构至关重要。文中对某工程项目中的一种小型反射镜提出了一种支撑方案，采用人工神经网络的非线性模拟能力模拟反射镜组件输出要求和支撑柔性结构参数之间的非线性关系，用MATLAB编制程序得到此非线性映射网络，并最终找到最优解。这样不但可以大大简化工作量巨大的有限元分析工作，而且计算结果表明通过网络模拟的结果和工程分析的结果很接近，精确度足够工程应用。需要注意的是，网络的训练样本需要根据具体结构特性谨慎选取，既要考虑参数可能遍布的范围，又不能使计算量过大，使设计周期变长。

［1］辛宏伟，关英俊，柴方茂.离轴空间遥感器主支撑结构设计［J］.光学 精密工程，2012，20（6）：1257－1264.

［2］辛宏伟，关英俊，李景林，等.大孔径长条反射镜支撑结构的设计［J］.光学 精密工程，2011，19（7）：1560－1568.

［3］李志来，徐 宏.长条形空间反射镜及其支撑结构设计［J］.光学 精密工程，2011，19（5）：1039－1047.

［4］朱树先，张仁杰，郑 刚.基于 RBF神经网络的人脸识别［J］.光学仪器，2008，30（2）：31－33.

［5］张栋，张承进，魏 强，等.压电工作台的神经网络建模与控制［J］.光学 精密工程，2012，20（3）587－596.

［6］王忠善，何 欣，付亮亮.一种小型空间反射镜支撑结构的设计与分析［J］.光学技术，2011，37（6）：686－690.