深空通信中极低码率编码技术研究

岳 平，胡 飞

（西南通信研究所，四川 成都 610041）

0 引言

深空通信的特点是通信距离长、信号衰减大以及地面信噪环境恶劣，这样较难进行信号处理。构造逼近香农极限的信道纠错编码且能在深空环境中得到应用是深空通信研究中的一项重要内容，纠错编码能有效地提高系统的利用效率。一直以来，深空通信将级联码作为信道编码技术，传统方式是将卷积码作为内码，RS码作为外码。由于深空通信的发展，传统编码技术已经难以满足需求，同时，码率较低，码长较长的码字的设计得以实现，可以将其应用到深空通信。

1977年，Paul D. Shaft首先研究了用于扩频通信的低码率（码率1/2到1/64）卷积码。1990年，A. J. Viterbi提出了一类由Hadamard码卷积级联构造的低码率正交卷积码（码率低至 1/512）。基于Turbo码的思想，1997年又提出了低码率的串接Hadamard码，其后Ping L等提出了低码率的Turbo-Hadamard码[1]，其码率为7/370，误码率为510-时，可达到-1.2 dB，但存在误码平台。

继Gallager在1962年提出了低密度奇偶校验码（LDPC）后，Tanner于1981年提出了广义低密度奇偶校验码（GLDPC）的概念[2-3]。最近Yue Guosen和Ping L等基于 LDPC码的思想提出了 LDPC-Hadamard码[4]，距-1.6 dB的距离更近，LDPC码没有误码平台，LDPC- Hadamard码也是没有误码平台的。

文献[4]描述了 LDPC-Hadamard 码的构造原理，并提出了优化方法。为了将其应用到深空通信系统中，本文基于文献[4]的设计思想设计出了一种低码率的LDPC-Hadamard 码。

本文首先给出了 LDPC-Hadamard码的基本构造模型并分析了译码过程；列出了LDPC-Hadamard码基本模型的不足，接着改进和构造了低码率的码字并进行仿真，分析了码率和码长，研究了它们对码字性能的影响；最后是全文总结。

1 LDPC-Hadamard码

1.1 LDPC-Hadamard编码结构

构造 LDPC[5]码实际上就是对校验矩阵进行设计。在校验矩阵H中，每行表示一个约束方程，每列表示一个符号变量，Tanner图中分别用校验节点和变量节点表示。如果校验矩阵中的任意一个元素= 1，则表示第i个校验节点与第j个变量节点相连，否则不相连。度为j的变量节点是一个( j ,1)的重复码，度为j的校验节点是一个(j, j - 1 )的单奇偶校验码。

将LDPC码的校验节点由单奇偶校验码约束换成其它分组码约束，就构成了GLDPC码[6]，如果将单奇偶校验码约束换成 Hadamard码约束则构成了LDPC-Hadamad码。

1.2 LDPC-Hadamard译码方法

因子图用来描述一个全局函数的乘积因子和变量之间的关系。一个因子图包含有两类节点，分别是函数节点jf和变量节点iυ。若iυ是jf的自变量，那两点连一条线。SP算法使消息在因子图上传递，来计算某个变量的边缘函数。符号表示从节点υi传给节点fj的消息，符号表示节点jf传给节点iυ的消息。SP算法消息更新的规则为：

其中 n (q)表示因子图与节点q相连的节点集合，υQj表示与第j个因子有关的变量集合。边缘函数即为进入每个变量节点的消息之积。

Tanner图是一种特殊的因子图，用 SP算法对LDPC码和LDPC-Hadamard码进行迭代译码。｛rk｝表示接收信号，表示第k个符号从AWGN信道得到的消息；表示与第k个变量节点相连的边的集合，Um与第m个校验节点相连的边的集合；rm,k表示第m个校验节点传给第k个变量节点的外部消息，表示第k个变量节点传给第m个校验节点的外部消息； qk表示比特的后验对数似然比，而表示判决后得到的码字，其中的 LDPC码字由表示，H表示 LDPC码的校验矩阵；r表示Hadamard的阶数，H-1表示Hadamard码译码器。译码算法如下：

（1）初始化

（2）迭代

1）水平步骤：

2）译码：

3）垂直步骤：

1.3 LDPC-Hadamard存在问题分析

GLDPC的码率可以由公式得出：

所以：

其中，cR是校验节点的平均码率。设0＜R＜1，如果有多余的码作为重复码字，当cR小于1/2时，码字中包含有不可忽略的度1节点。

前面提到的LDPC-Hadamard码存在较多度为1的变量节点，且其数目与 Hadamard码的阶数r（ 3r≥ ）成正比。进行迭代译码时，度为1的节点的外信息不会被更新，码字性能会受到影响。

从文献[4]可知，为了接近信道的最大容量，变量节点和校验节点的 EXIT曲线必须相匹配。由于变量节点的EXIT曲线是凹形的，而Hadamard码的EXIT曲线既不是凹形也不是凸形，因此，它们的EXIT图不能被优化而相互匹配。

2 LDPC-Hadamard码的改进和优化

[4]，对 LDPC-Hadamard码设计一种新的编码结构来解决上述问题。

如图1所示：①通过PEG算法构造一个信息位为K，码长为 NL，码率R的规则 LDPC码，行重为ρ，列重为λ；②将LDPC码字中与校验节点相连的所有变量比特映射成为阶数 r =ρ-2的Hadamard码并除去它的信息比特，得到 M = NL-K个Hadamard码字，每个Hadamard码字长为2r-ρ；③将LPDC码字和这些Hadamard码字组合在一起得到码长为的LDPC-Hadamard码，码率。表1是各种码率的编码参数。

图 1 LDPC-Hadamard码的构造

表1 LDPC码及各种码率的LDPC-Hadamard码

3 仿真结果与分析

仿真分析了LDPC码[7]和LDPC-Hadamard码的误码性能，其中LDPC采用了文献[5]提出的编码方案，LDPC-Hadamard码如表1所示，码字长度分别为1 200和11 600。仿真结果如图2所示。

由图2知，LDPC-Hadamard码性能比LDPC码改善了 0.8 dB以上。对于两种不同的 LDPCHadamard码，码长11600的LDPC-Hadamard码的误码性能比码长1200的LDPC-Hadamard误码性能更好，二者差距为0.4 dB，但是后者码字长度短很多，便于工程实际应用。

图2 不同码率的码字性能

图3给出了表1中码率为1/12、不同码字长度的 LDPC-Hadamard码的误码性能对比，这些LDPC-Hadamard编码采用了相同的编码方法。可以看出：LDPC-Hadamard码字长度越长，其性能越好，大约改善了0.025 dB以上。但是，码字过长将导致译码延时过大，不便于工程应用。

图3 码长对译码性能的影响

4 结语

GLDPC码[8-9]基于传统LDPC编码技术，采用级联编码思想来构造新型编码，其误码性能较好。LDPC-Hadamard码是一种特殊的GLDPC码，它将LDPC码和 Hadamard码级联起来，其性能优于LDPC码。仿真结果表明，LDPC-Hadamard码在码率为 1/58、码字长度为 11600时，误码率为 1 0-5的信噪比可达到-0.7 dB，而码率为1/12、码字长度为1 200的LDPC-Hadamard码在误码率为 1 0-5的信噪比可达到-0.2 dB。LDPC-Hadamard编解码技术能够在极低信噪比的深空通信等环境中得到广泛应用。

参考文献

[1] PING L, LEUNG W K,WU K Y.Low-rate Turbo-Hadamard Codes[J].IEEE Trans. Inf. Theory,2003(49):3213-3224.

[2] TANNER R M.A Recursive Approach to Low Complexity Codes[J].IEEE Transactions on Infromation Theory,1981,27(05):533-547.

[3] BOUTROS J, POTHIER O, ZEMOR G.Generalized Low Density (Tanner) Codes[C].USA:IEEE Press,1999:441-445.

[4] Yue Guosen, Li Ping,Wang Xiaodong. Generalized Low-density Parity-check Codes on based Hadamard Constraints[J]. IEEE Transactions on Information Theory,2007,53(03):1058-1079.

[5] 韩辉,周武旸,董桂强,等.一种改进的 LDPC码译码算法[J].通信技术,2009,42(11):214-216.

[6] LENTMAIER M,ZIGANGIROV K S.On Generalized Low-density Parity-check Codes based on Hamming Component Codes[J]. Communication Letters,1999,3(08):248-250.

[7] 易燕,申敏.一种快速准规则 LDPC码编码器的硬件实现[J].信息安全与通信保密,2007(04):54-55.

[8] MILADINOVIC N,FOSSORIER M P C.Generalized LDPC Codes and Generalized Stopping Sets[J].IEEE Transactions on Communication,2008,56(02):201-212.

[9] 龚莉萍,陈云榕,胡凯.LDPC编译码技术研究[J].通信技术,2009,42(07):10-12.