巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念

蔡鸣晶

（南京信息职业技术学院 江苏 南京 210046）

巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念

蔡鸣晶

（南京信息职业技术学院 江苏 南京 210046）

对概率统计中几个容易混淆的概念：频率与概率、互不相容事件与相互独立事件、互不相容事件与相互对立事件、多个事件两两独立与相互独立、条件概率与乘积概率等举例辨析。在概率统计教学过程中，选取既具有实用背景又能阐明基本概念、能够提高学生兴趣的例题，能够加强学生对知识理解的准确性和完善性，提高学生的学习效果和职业能力。

例题；概率统计；概念辨析；频率；概率；职业素质

概率统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类专业一门重要的基础理论课，也是高等职业院校一门重要的职业素质课程。它的思想方法与学生以往接触过的任何一门学科均有所不同。在概率统计中存在许多容易混淆的概念，如不能认真区分，仔细加以甄别，就难以正确理解这些重要概念，在应用时就容易出现各种各样的错误。学生在学习这门课的过程中普遍感到概念难以理解，思维难以展开。因此，教师在教学过程中对那些容易使学生混淆的内容一定要提出来特别强调，消除学生对这些内容理解的困难。对于这些内容如果能精心选择适当的例子加以解释说明，会得到事半功倍的效果。下面举例说明。

频率与概率

定义1：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值称为频率。

定义2：大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某一常数p，并在它附近摆动，这个常数p叫做事件A的概率。

两者之间的关系：概率来源于频率，它是大量独立重复试验时频率的稳定值。因此，频率是概率的先导，而概率是频率的抽象和发展。频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小。概率是随机事件发生的可能性大小的数量反映，是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定后的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同。

在大量重复实验的条件下频率可以近似地作为这个事件的概率。一般地，用频率近似代替概率的例子并不多见，以下这个例子既有很好的实际意义，又能较好地体现频率与概率之间的联系。

例1：新药的效果

一种治疗某种疾病的新药，在500名病人中，有的服了这种药，有的没有服这种药 （B），5天后，有的痊愈，有的未痊愈（AB），各种情况的人数见表1，其中170表示服药后痊愈（AB）的人数，其余类似。试判断这种新药是否有效？

表1 新药效果统计表

解：比较服药后痊愈与未服药痊愈事件概率，由于试验共500例，试验次数相当大，故可用频率近似地估计概率：p

因为p（B）与p（B|A）几乎相等，故可认为事件B与A相互独立，表明服药和不服药对治疗效果不大，新药对这种疾病无意义。

评析：本题只给出了数学统计表，且试验次数较大，因此，用频率去估计概率给问题的解决带来了很大的方便。根据本问题提供的条件直接求事件的概率是很困难的。

互不相容事件与相互独立事件

定义3：设A、B为两个事件，若AB= Φ，则称A、B互不相容。

定义4：如果两个事件A与B满足等式P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B是相互独立的。

两者之间的关系：两事件“互不相容”是指这两个事件不能同时发生，是用事件的运算来描述的。而“相互独立”则是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，是用事件的概率来描述的。两事件“互不相容”时，这两个事件之间有很强的依赖关系。“两事件相互独立必定互不相容”的认识是错误的。

一般情况下，两件互不相容的事件不一定相互独立，两个相互独立的事件也不一定互不相容。只有满足条件：P（A）P（B）=0时，这两者才能相互推出。

为了让学生更好地区别这两个极易混淆的概念，在选择例题的时候要有针对性地选择一些学生比较容易理解又比较简单的事件，这样学生在遇到一些比较复杂的事件时，才能更好地区分。

例2：盒子里装有m只白球，k只黑球，做有放回的摸球试验，A表示“第一次摸到黑球”，B表示 “第二次摸到白球”；则A和B是相互独立但不是互不相容的。

例3：52张扑克牌平均分给甲、乙、丙、丁4个人，A表示甲得3张K，B表示乙得两张K；则A与B互不相容但不相互独立。

例4：甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A、B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件，于是

评析：常有学生会这样认为：所求事件为A+B，

这样做错误的原因就是把相互独立同时发生的事件当成了互不相容的事件。

互不相容事件与相互对立事件

定义5：“事件A不发生”称为事件A的对立事件，记为。

互不相容事件与相互对立事件的联系与区别是：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。

例5：把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：

A.对立事件；B.不可能事件；C.互斥但不对立事件；D.以上均不对。

正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选C。若把“互斥”与“对立”混同就很容易错选A。

这道例题的巧妙之处在于事件本身比较简单，如果有学生仅从字面上理解对立，很容易错选。

多个事件两两独立与相互独立

定义6：n个事件Ai（i=1，2，……，n）两两独立是指：

∀Ai，Aj（i≠j），P（AiAj）=P（Ai）（Aj），

定义7：n个事件Ai（i=1，2，……，n）相互独立是指：

∀Ai，Aj（i≠j），P（AiAj）=P（Ai）（Aj），

且P（A1，A2，……An）=P（A1）P（A2）……P（An）

两者之间的关系：相互独立可以推出两两独立。反之未必。

以下两个例子很巧妙地说明了相互独立与两两独立之间的关系。

例6：设有一个均匀的正四面体，第一、二、三面分别涂上红、黄、蓝一种颜色，第四面涂上红、黄、蓝三种颜色。现以A、B、C分别记投一次四面体底面出现红、黄、蓝颜色的事件，则P（A）=P（B）=P。所以，A、B、C两两独立，但P（ABC），因而A、B、C不相互独立。

评析：两两独立有可能不相互独立。

例7：设有一均匀正八面体，其第1、2、3、4面涂有红色，第1、2、3、5面涂有黄色，第1、6、7、8面涂有蓝色。现以A、B、C分别表示投一次正八面体，底面出现红、黄、蓝颜色的事件，则

所以A、B、C不两两独立。

评析：P（ABC）=P（A）P（B）P（C）成立，但A、B、C并不一定两两独立。

条件概率P（A|B）与乘积概率P（AB）

定义8：在B发生的情况下，A发生的概率即为条件概率，记为：P（B|A）。

定义9：乘积概率P（AB）表示事件A、B同时发生的概率。

两者之间的关系：P（B|A）=P（AB）=P（A|B）P（B）.

在讲解这两个概念的时候，选择能在同一道题目里同时考察两个概念的例题，可以比较好地帮助学生比较和辨别。

例8：袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到的也是白球的概率。

分析：问题（1）是求第一次取到红球且第二次取到白球这一积事件的概率，而问题（2）则是求在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率。

例9：甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问：（1）这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？（2）若发现它是乙厂生产的，问它是标准件的概率是多少?

解：设A={零件是标准件}，B={零件是乙厂生产}，则问题（1）所求为P（AB）。P（AB）=问题（2）所求为P（A|B）。P（A|B）

例10：聋盲人群中又聋又盲可能性大小问题。

在某一人群中，聋子的概率是0.005，盲人的概率是0.0085，而聋子中是盲人的概率是0.12，求：（1）这个人群中任意一人，又聋又盲的概率；（2）求盲人中是聋子的概率。

解：A={此人是聋子}，B={此人是盲人}。 依题意有 P （A）=0.005，P （B）= 0.0085，P（B|A）=0.12，所求概率是P（AB）。由乘法公式得P（AB）=P（A）·P（B| A）=0.005×0.12=0.0006。而P（A|B）表示盲人中是聋子的概率，故P（A|B）=

概率统计是实际应用性很强的一门数学学科。实践表明，教师在教学过程中如果能够精心选取既具有实用背景，又能对阐明基本概念有帮助、能提高学生兴趣的例题，可以使原本抽象、枯燥难懂、容易混淆的数学理论变得有血有肉、有滋有味，可以激发学生的求知欲望，提高学生对课程的学习兴趣，取得较好的学习效果。

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]陈希孺.数理统计引论[M].北京：科学出版社，2007.

[3]谢兴武，李宏伟.概率统计释难解疑[M].北京：科学出版社，2007.

[4]刘国庆，王勇.改革课堂教学方法探索概率统计教学的最佳模式[J].大学数学，2003（3）.

[5]谭希丽，徐冬梅.概率统计课程教学方法的几点体会[J].高等数学研究，2011（1）.

山西1.18亿元确保中等职业教育免费“全覆盖”

近日，从山西省财政厅获悉，为确保2012年秋季学期将对所有中职学生免除学费，确保山西省中等职业学校免学费工作的顺利实施，近日山西省财政下达了春季免学费中央和省级资金约1.18亿元。

据了解，此次下达资金惠及山西省19.5万名职业高中、职业中专学生，2.1万名技校学生以及约4.1万名普通中专家庭经济困难学生、涉农专业学生、顶岗实习困难专业的学生。

2011年中等职业教育免学费全覆盖被山西省政府列为加快推进全省农村公共事业新的“五个全覆盖”工程之一。按照规划，山西省计划用两年时间实现中等职业教育免学费全覆盖。2011年秋季学期，职业高中全部在校学生和“送教下乡”学生首先享受到免学费政策；今年秋季学期，免学费政策覆盖范围将扩大到普通中专学校和技工学校全部在校学生，实现中职教育免学费全覆盖。

山西省要求各级财政、教育、人社等部门要加强免学费补助资金的科学化、精细化管理，严禁“一边免费、一边收费”，杜绝通过虚报学生数套取补助资金的现象发生。中等职业学校必须严格按照规定的范围与标准支出。同时，加强学校财务管理和资产管理等基础性工作。建立健全会计账簿，规范会计核算，确保免学费资金使用的规范和有效。各级财政部门要与教育、人力资源社会保障、价格、审计、监察等有关部门密切配合，齐抓共管，加强对免学费政策落实情况和资金使用情况的监督检查。

（中国政府网）

G712

A

1672-5727（2012）07-0095-02

蔡鸣晶（1981—），女，江苏南京人，硕士，南京信息职业技术学院讲师，研究方向为统计学。