一个重要引理的改进及其应用*

彭 娟

(湖北科技学院 数学与统计学院，湖北 咸宁 437100)

在［1］中有如下引理：

引理1 如果X为实随机变量，则

对任意p＞0都成立．

本文在Banach空间，用一般的随机变量代替实随机变量X，将关于|X|p的结论推广到更一般的情形φ(‖X‖)．

1 对引理1的改进

定理1 设X是Banach空间的随机变量，φ(x)为在［0，+∞］的任一有限区间上绝对连续且单调上升的函数，则有

证明 由条件可得φ＇(x)几乎处处存在且有限，根据G．Fubini定理有：

即

其中

与引理1相比，定理1将实随机变量X的函数|X|P(P＞0)改进为Banach空间随机变量X的函数φ(‖X‖)这种更一般的情形．

2 定理1的应用

我们将用到下面两个引理，这里X1，X2，…，Xn… 是Banach空间独立对称的随机变量．

引理3［2］对每个r＞0及无穷整数集∧，

由于‖Y‖≤M，容易得到E‖Y‖P≤EMP，现在希望得到EMP被E‖Y‖P控制的上界．运用引理2、引理3及定理1，我们有：

定理2 若φ(x)为在［0，+∞］的任一有限区间上绝对连续、单调上升的函数且φ(0)=0，则

证明 由定理1及φ(0)=0有

由引理2，对任意t＞0有

又因为φ(x)单调上升且φ(0)=0，所以φ＇(x)≥0，从而

结合引理3，与定理2的证明类似，可以得到如下定理：

定理3 若φ(x)为在［0，+∞］的任一有限区间上绝对连续、单调上升的函数且φ(0)=0，则

由定理2还可以得到如下推论：

推论1 对任意p＞0有EMP≤2E‖Y‖P．

该推论是定理2的直接结果．

推论2 对任意 α＞0有EMP≤2Eeα‖Y‖－1．

证明：由定理1与定理2有

［1］吴智泉，王向忱．巴氏空间上的概率论［M］．长春：吉林大学出版社，1990：106～107．

［2］J－P卡昂纳．函数项随机级数［M］．武汉：武汉大学出版社，1986：15～16．