一维双极漂移——扩散方程在半空间上的解的渐近性*

周 芳，黄 娟

(1．湖北科技学院，数学与统计学院，湖北 咸宁 437100;2．咸宁温泉中学数学组，湖北 咸宁 437100)

0 引言

本文中，我们考察下列一维经典双极漂移—扩散方程：

这里n1=n1(x，t)和n2=n2(x，t)分别表示电子和孔穴的密度，E=E(x，t)表示电场，P(ni)(i=1，2)是压力函数，f1=f1(x，t)和f2=f2(x，t)分别表示电子和孔穴的合成函数，μ1和μ2表示电子的迁移率．方程(1．1)是最简单的宏观半导体方程．

近来，有许多作者讨论了古典漂移—扩散方程(1．1)．Markowich，Ringhofev和Schmeiser以及Kobayashi，Kurokiba和Kawashikawa讨论了它的有界域和无界域的稳态解的存在性．Mock建立了三维Neumann边值条件的初边值问题的光滑解的整体存在性和渐近行为．Fang和Ito也研究了相应的多维漂移—扩散方程的有Dirichlet边值条件的初边值问题的解的整体存在性和渐近行为．而Gajewski，Gajewski和Groger以及Ju¨ngel分别建立了更一般的漂移—扩散方程的初边值的整体解的存在唯一性．近来，Kobayashi和Ogawa也讨论了相似的问题．既然双极漂移—扩散方程是双极半导体方程的松弛时间极限，同时许多作者已经考察了双极半导体方程的初值问题的光滑解和弱解的扩散波现象．因此，我们相信当时间t大的时候，双极漂移—扩散方程的解也收敛到该非线性扩散波．近来，Li，Zhang，Zhang和Hao考察了双极漂移—扩散方程的初值问题的强解的整体存在性和扩散波现象．在本文，我们打算考察相应的初边值问题，即讨论一维双极漂移—扩散方程的初边值问题的强解的非扩散波现象．

为简单起见，这里我们仅仅讨论下面的简化方程：

具有初边值条件

定理1．1 设P(n)是光滑函数，且当n＞0时，P＇(n)＞0．假设n10(x)－n+，n20(x)－n+∈L1(R+)满足(2．4)，(φ10，φ20)(x)∈H3(R+)∩L1(R+)×H3(R+)∩L1(R+)满足 ‖(n10－n+，n20－n+)‖L1(R+)‖(φ10，φ20)‖3+‖(φ10，φ20)‖L1(R+)+δ0＜＜1，则初边值问题(1．2)－(1．3)具有一个唯一的整体解(n1，n2，E)(x，t)∈ (L∞［0，T］H2(R+))∩L2［0，T］，H3(R+)2×L∞［0，T］，(H3(R+))∩L2［0，T］，H4(R+)，满足

这里C＜0和α＞0是常数．

注1．2 讨论相应的多维漂移—扩散方程的类似的结果也是非常有意义的，这在我们以后的工作中再来讨论．

1 非线性扩散波

在这一节，我们主要构造非线性扩散波．首先我们定义

这里函数φ(x，t+1)(使用t+1，而不使用t是为了避免解在t=0的奇性．)满足

即

具有初边值

这里φ0(x)是一个给定的光滑函数满足

已经有作者使用了格林函数的方法和能量估计已经证明了φ(x，t)的存在性，并且

和

和边值条件

根据(2．5)和(2．6)，，我们有

引理2．1若珔i(x，t)(i=1，2)如上面的定义，则

2 整体存在性和衰减率

在这一节，我们主要证明(1．2)－(1．3)的解的整体存在性和渐近行为．首先，令

具有初边值条件

这里

另外，注意

为了后面的使用，我们也导出E满足的方程：

具有初边值条件

首先，使用标准的方法，我们能证明(3．1)－(3．3)的局部解的存在性．这里我们仅仅给出结果，而省略细节．

引理3．1 设P(n)是光滑函数，且当n＞0时有P＇(n)＞0，假设(φ10，φ20)(x)∈H3(R+)×H3(R+)，那么对某个时间T＞0，初值问题有一个唯一的解(φ1，φ2)∈L∞(［0，T］，H3(R+))∩L2(［0，T］，H4(R+))

注3．2 事实上，根据(3．4)我们有

使用连续性方法，为了推广局部解到整体解，我们仅仅需要(φ1，φ2)的先验估计．因此，在下面我们着重建立(φ1，φ2)的先验估计．为此，我们记

现在我们给出先验估计如下．

证明 分别用φ1乘以(3．1)，用φ2乘以(3．2)，然后在R+积分得

另外，注意到

它和(3．8)— (3．9)一起蕴含了

因此，联立(3．10)和(3．11)，立即得到命题 3．3 的证明．

根据命题3．3和连续性方法，我们能把(3．1)－(3．3)的局部解推广成整体解．

其次，我们能导出电场E的指数衰减率．首先，根据上面的结果，我们知道强解(φ1，φ2，E)满足

那么根据Sobolev嵌入定理，知

从而，由(3．1)－(3．2)有，得

那么，我们有

引理3．5 假设(φ1，φ2)是(3．1)－(3．3)的整体光滑解，则电场E满足下式

证明 在(3．5)两边乘以 ，然后在 上积分得到

又由Gronwall不等式知，存在正数α1，使得

成立

相似的，存在正数α2和α3，使得

和

取 α=min{α1，α2，α3}，我们即得(3．15)．

利用E的指数衰减率，下面我们导出φ1和φ2的代数衰减率．

证明 在(3．1)两边乘以(1+t)φ1x，然后在R+上积分得到

利用引理2．1 和(3．12)，有

那么我们立即得到

同理，当k=2，3，有

联立(3．20)和(3．21)得到在(3．19)里的φ1的估计．完全相似的我们能得到在(3．19)里的φ2的估计．证毕．

［1］W．Fang，K．Ito，Solutions to a nonlinear drift－ diffusion model for semiconductors，Electro［J］．Differential Equations，15(1999)，38．

［2］W．Fang and K．Ito，Global solutions of the time－dependent drift－diffusion model semiconductor equations［J］．Differential Equations，123(1995)，523～566．

［3］W．Fang and K．Ito，Asymptotic behavior of the driftdiffusion semiconductor equations［J］．Differential Equations，123(1995)，567～587．

［4］H．Gajewski，On the uniqueness of solutions to the driftdiffusion model of semiconductor devices［J］．Math．Models Methods Appl．Sci．，4(1994)，121 ～133．

［5］H．Gajewski and K．Groger，On the basic equations for carrier transport in semiconduc － tors［J］．Math．Anal．Appl．，113(1986)，12 ～35．