基于高阶矩的Nakagami-m参数估计方法

张 程

(中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北石家庄050081)

0 引言

准确有效地估计信道衰落参数，可以评估通信链路的质量，从而优化分集传输模式、自动控制功率和自适应选择调制方式等，以提高通信系统性能。无线信道里的信号经过多径传播，在到达接收机前会经历各种衰落。在无线通信中，由多径时延引起的频率选择性衰落对通信系统的性能影响很大。为描述不同的衰落而建立了多种衰落模型，包括瑞利分布、莱斯分布和Nakagami分布都是最常用的。

1 Nakagami-m分布参数的意义

Nakagami-m分布对无线信道中易于在各种衰落条件下捕捉包络分布［1］。通过m参数的改变，这种分布可以模拟剧烈、缓慢、轻微或没有衰落的信号条件。经证实通过对随机向量的更加近似解，使得Nakagami-m分布模型成为一种更通用的解决方案。Nakagami-m分布的概率密度函数:

式中，Γ(·)是标准γ函数，Ω被定义为如下式:

式中，E(·)是数学期望，参数m被定义为矩的阶数，称为衰落指数，有:

则R的第k阶矩是:

在式(1)中，参数m控制振幅衰落的速度和幅度。m分布包括上面描述的2种分布模式。参数m=1变为广义瑞利分布模式;m＜1变为衰落速度大于瑞利衰落;而当m＞1时衰落速度小于瑞利衰落;当m=0.5时，则是高斯分布。

m值标志着信道质量并且影响误码率(BER)，准确充分地估计m在无线通信中是极为重要的［2］。估计主要集中在2个方面，最大似然估计(ML)和矩估计［3－6］.

2 非噪声环境下高阶矩m参数估计

Nakagami变量的矩式(4)中，γ函数同时出现在分子和分母里。没有附加的和非负的部分，为了可以推论通过不同阶矩的运算来消除不能轻易解出的非线性γ公式。式(3)参数m定义导出m^的定义式为:m^= Ω^2/Ε［(－ Ω^)2］在下面讨论 m^=m^INV。

k阶样本矩如式(4)所示。可以通过求R的任何2个矩的比并求解m来得到m的估计族。

一种通用估计方法［5］，m～k对m可写成:

通过求1阶矩和3阶矩的比值，得到一个新的估计量式(7)，式中变量 m～123远小于 m～INV，因而m～123的性能较好，将在后面的仿真结果中证明。

非整数(也叫分数的)阶矩［6］，让 pth的观察采样值的根数为:

取得X的第k阶矩如下式:

注意当p=1，取得式(4)中的k阶矩表达式。对于一个给定的p，能够求得任何2个X的阶矩的比值，m的解和m的估计值序列。为了避免解无解的方程，求X的(2p+1)th阶矩(奇数阶)和一阶矩的比值，得到式(10):

3 噪声环境高阶矩的Nakagami-m参数估计

噪声环境的m参数估计方法，主要讨论AWGN对估计方法的影响。

用一种有附加背景噪声的m参数估计方法［4］。设 Yi=Ri+Ni，i=1，2，…，M。其中，Ri为独立同分布随机变量(RV's)，Ni为均值为零方差为σ2的独立同分布高斯随机变量，μk是接收信号Y的k阶矩。此外，假设{Ri，Nj}对所有的 i，j和{Ri，Rj}独立性大大降低，当 i≠j时，{Ri，Rj}和{Ni，Nj}是非独立的。给定{y1，y2，…，yM}为M的非独立观察值。

Y的二阶矩如式(12)所示:

在式中假设R和N是非独立和无关联的。Y的三阶矩如式(13)所示:

式中，假设奇数阶矩的零均值高斯随机变量为0。Y的四阶矩如式(14)所示:

式(13)除 μ1，得到式(15)。将式(12)中的σ2=μ2－Ω 代入式(15)，产生式(16)。

现在主要问题是去掉未知变量σ，用式(12)和式(16)，重新给出μ4的表达式如下:

接着得到Y的没有σ2的前四阶矩和m的方程:

式中，α ≡3μ2－ μ3/μ1，β ≡ 3μ22－ μ4。定义 γ=8β －4α2解 m 的方程2γm2－γm+β=0，得:

为了得到实用的估计方法，应用 μ^k=(1/M)而不是它的k阶矩的真实值 μk。μ1，μ2，μ3，μ4是给定的［4］，Y 的5 阶矩如式(21)。

注意上面所有的方程都由m决定而不是由Ω或σ2决定。因此在AWGN条件下的3个估计值导出式(22)、式(23)和式(24)，不像式(20)，不能直接计算等式去解m值，但是可以通过按照每个m值查找存储 f(m)存储表来实现求解(典型值m ＜10)［4］。仿 真 结 果 显 示 式 (22)、式 (23)和式(24)的性能要优于式(20)。

噪声环境下的最大似然估计方法参考［8］，要求解复杂的似然方程来求关于m的派生值，所以基于矩的估计方法在噪声环境是最适合的。

4 仿真试验和结果分析

4.1 仿真试验与性能分析

用蒙特卡罗法去模拟前面中提到的估计方法的采样均值和均方根值(这里只考虑无噪声条件)。所有的数值结果都取自10 000实验的平均值。独立同分布Nakagami变量为Ω=2和m参数的有用的取值范围 m=0.5，1，1.5…9.5，10}而产生。

由Cramér-Rao下限(CRLB)给出的任何m参数的任何无偏估的变化最小值［5］如式(25)所示:

式中，Ψ'(·)定义为 Ψ(m)= Γ'(m)/Γ(m)，是digamma方程的一阶导数，也被称为trigamma方程。可以将m估计值的变化和CRLB值比较以取得更接近真实值的估计方法。

图1(a)和图1(b)分别是采样点数为100和1 000的估计值的均方根值和CRLB值的对比。可以证明在N=100时m^更有效，但当N增大时会引起更大的偏差，特别是当m值很小时。同时，当N=1 000时m^2和 m^3更接近 CRLB，而且当 N值较小时，其性能也不差。

图1也证明，矩估计的仿真性能比最大似然估计差。从此可以推断，来自高阶矩误差要远大于最大似然估计中Z的digamma函数的近似值。

图1 估计值的均方根值和CRLB值的对比

图2 均值与m的真值、采样估计的均方根值

4.2 计算复杂度分析

虽然没有太多文献就估计的计算复杂度进行论述，但实际上是它还是非常重要的［2］。一种估计方法的计算不应太复杂，否则下一个采样值来时就来不及计算了。当RN+1已知时，宁可更新m^(N+1)而不是更新m^(N)。

矩估计方法的计算复杂度如表1和表2所示。表的内容数据不是非常精确，但足以证明计算的复杂度。N表示计算次数在N上下，但远大于0或远小于2N，除了N的其他项都不考虑。

表1 无噪声矩估计计算量表

由于乘除法的复杂性要高于加减法，矩估计的计算复杂性或多或少小于最大似然估计(除了非整数阶矩)。但是，随着现代先进的DSP技术使数值计算变得越来越简单，就不必过多考虑不同m参数估计方法的计算复杂度的区别了。

表2 噪声环境矩估计计算量表

4 结束语

该文讨论了在噪声环境下基于矩估计的m参数估计方法。从性能和复杂性的观点来考虑，当p的值很大时，通常大于4的性能非常接近于和2种估计参数。此外，当采样数据越大，所有估计方法的性能越好。由此可见，选取合适的p值，可降低计算复杂度，从而降低硬件成本，改善通信系统的性能。

［1］肖先赐.现代谱估计——原理与应用［M］.黑龙江：哈尔滨工业大学出版社，1991.

［2］TEPEDELENLIOGLU C，GAO P.Estimatorsofthe Nakagami－ m Parameter and Performance Analysis［J］.IEEE Trans.Commun，2005，4(2)：519 －527.

［3］ABDI A，KAVEH M.Performance Comparison of Three Different Estimators for the Nakagami-m Parameter Using Monte Carlo simulation ［J］.IEEE Commun.，2000，4(4)：119－121.

［4］CHENG J，BEAULIEY N.Moment-based Estimation of the Nakagami-m Fading Parameter［C］∥IEEE PACRIM Conf.Commun. Comput. Signal Process.， Victoria，BC，Canada，2001.8.26 －8.28，2(9)：361 －364.

［5］CHENG J，BEAULIEU N.Maximum-likelihood Based Estimation of the Nakagami-m parameter［J］.IEEE Commun.Lett，2001，5(3)：101 －103.

［6］ZHANG Q T.A Note on the Estimation of Nakagami-m Fading Parameter［J］.IEEE Commun.Lett.，2002，6(6)：237 －238.

［7］GAEDDERT J，ANNAMALAI A.Further Results on Nakagami-m Parameter Estimation ［J］.IEEE Commun.Lett.，2005，9(1)：22 －24.

［8］CHEN Y F，BEAULEU N C.Estimators Using Noisy Channel Samples for Fading Distribution Parameters［J］.IEEE Trans.Commun，2005，53(8)：1274 －1277.