气象学中的雨量与物理学中的流量是什么关系＊——对一道竞赛题的分析

许冬保

（九江市第一中学，江西 九江 332000）

1 试题

第25届全国中学生物理竞赛预赛试题第12题：

一座平顶房屋，顶的面积S＝40m2.第一次连续下了t＝24h的雨，雨滴沿竖直方向以v＝5.0m／s的速度落到屋顶，假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反弹，并立即流走.第二次气温在摄氏零下若干度，而且是下冻雨，也下了24h，全部冻雨落到屋顶便都结成冰并留在屋顶上，测得冰层的厚度d＝25mm.已知两次下雨的雨量相等，冰的密度为9.0×102kg／m3.由以上数据可估算得第二次下的冻雨结成的冰对屋顶的压力为________N，第一次下雨过程中，雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力为________N.

2 解答

设冰、水的密度分别为ρ0、ρ，第一次雨对屋顶的压力为F1，第二次冰对屋顶的压力为F2.

冻雨结成冰的总质量为

冰对屋顶的压力大小为

将m代入解得

第2问正确答案是0.058N.通常有以下3种解法.

解法1：如图1所示，设雨滴密度为ρ′，经一段时间 Δt，下落到屋顶的雨滴分布在高为vΔt、面积为屋顶面积所构成的流管内，其质量流量为

图1 下落的雨流管

由动量定理，有

解得

取ρ′＝1.0×103kg／m3，代入题给数据，得

由牛顿第三定律知，雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力大小等于屋顶对雨的作用力大小.

因此，屋顶受到的压力大小为1.0×106N.

解法2：两次在t＝24h内下雨的雨量相等，即质量相等.则

由动量定理，有

代入已知数据，得

雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力大小等于屋顶对雨的作用力大小.即等于0.052N.

解法3：两次在t＝24h内，下雨的雨量相等，即体积相等.则第一次下落的雨的总体积V为

如图1所示，对一段时间Δt，以下落到屋顶的雨滴构成的流管为研究对象，质量流量为

由动量定理，有

代入已知数据，得

雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力大小等于屋顶对雨的作用力大小.即等于0.058N.

3 分析

解法1认为：雨滴的密度ρ′就是水的密度ρ.实际上雨滴的密度远小于水的密度.这是因为雨滴形成的流管中，该流管内的雨滴之间存在较大的间隙，雨滴的线度一般在0.1～7mm之间［1］，流管内的雨滴不是水柱.

在t＝24h内，两次下雨的雨量相等，即体积相等.将流管中雨滴的质量等效为水的质量，有

解得

代入已知数据，得

将ρ′代入式F1＝ρ′Sv2中，得 F1≈0.058N，答案正确.

解法2和解法3，相差不大，显然不是计算造成的偏差.原因何在？

比较发现，关键在于对题中24h内“两次下雨的雨量相等”的理解，解法2理解为24h内两次的质量相等，解法3理解为24h内两次的体积相等.换言之，雨量相等是质量流量相等，还是体积流量相等？试题给出的参考答案是支持后者.

对此，有人提出建议：“题目的意思若是更明确些，就好多了”［2］.不少学生也认为试题文字表述不清，两种理解均可.实际情况果真如此吗？

4 雨量和流量之间的关系

在气象学中，雨量是指在一定时段内降落到平地（假定无渗透、蒸发、流失等）上的雨水深度，通常用雨量器测定，以mm为单位.因此雨量是一个与深度有关的概念.

为测定降雨量的大小，气象工作人员在地面观测场的露天放置一个金属圆筒雨量器，它一天所接收到的雨量，就是日降雨量，可用量雨杯量出.

我国气象台规定：凡是日降雨量在10mm以下称 为小雨，10.0～24.9mm 为中 雨，25.0～49.9mm为大雨，50.0～99.9mm 为暴雨，100.0～250.0 mm为大暴雨，超过250.0mm的称为特大暴雨［3］.

雨量与流量之间有什么关系呢？

在流体力学中，流量是描述流体性质的重要物理量.单位时间通过流管截面的流体质量叫做质量流量.单位时间通过流管截面的流体体积叫做体积流量［4］.虽然质量流量和体积流量常泛称为流量，但含义不同.

为了探究雨量与流量之间的定量关系，有必要了解雨量器的工作原理.

图2 雨量器

雨量器是测定降雨量的仪器，常见的雨量器结构如图2所示，外壳是金属圆筒，筒口直径为20cm，分上下两节.上节作承雨用，其底部为一漏斗，漏斗伸入储水瓶内.下节内放储水瓶，以收集雨水.降雨后，将雨水瓶中的雨水倒入量雨杯，读得雨量的毫米数［1］.这里我们注意到量雨杯的底面积应该是确定的，也就是说，雨量实际反映的是一段时间（24h）内的体积，对应于物理学上的体积流量.

为了得到定量的关系式，我们假设在一段时间t内，雨量用h表示，体积流量用Q表示，量雨杯的底面积用S表示，有

取t＝24h，S一定，因此，物理学中的体积流量正比于气象学中的雨量.只有在一定的温度下（水的密度不变），质量流量才正比于雨量.

综上所述，解法3是正确的.原答案准确，试题文字表述没有异义.

全国中学生物理竞赛内容提要指出：物理竞赛的内容有一部分有较大的开阔性，其中包括物理知识在各方面的应用：对自然界、生产和日常生活中一些物理现象的解释.中央及各省市地方电视台、广播电台、网络、手机、报纸等均有气象预报的信息，已渗透普通百姓的生活和工作之中.中学生如只关注课内学习，谈何提高科学素养？需知两耳要闻窗外事，处处留心皆学问.

1 辞海编纂委员会.辞海（缩印本）.上海：上海辞书出版社，1999.2400

2 程贤楼.对25届全国中学生物理竞赛预赛卷两道题的一点建议.物理教师，2009（7）：62

3 林崇德.中国少年儿童百科全书（自然·环境）（第三版）.浙江教育出版社，1998.150

4 舒幼生.力学.北京：北京大学出版社，2005.211