一道高三模拟题目引发的思考——点斜率和切斜率的区别

徐 学

（苏州中学园区校，江苏 苏州 215000）

日前笔者在高三复习中遇到这样一道模拟题：在如图1（甲）所示电路中，闭合电键S，当滑动变阻器的滑动触头P向下滑动的过程中，四个理想电表的示数都发生变化.图1（乙）中三条图线分别表示了三个电压表示数随电流表示数变化的情况，以下说法正确的是

（A）图线a表示的是电压表V3的示数随电流表示数变化的情况.

（B）图线c表示的是电压表V2的示数随电流表示数变化的情况.

（C）此过程中电压表V1示数的变化量ΔU1和电流表示数变化量ΔI的比值变大.

（D）此过程中电压表V3示数的变化量ΔU3和电流表示数变化量ΔI的比值不变.

图1

学生A：当滑动变阻器的滑动触头P向下滑动的过程中，R2的阻值增加，电压表示数V3表示的是R2两端的电压，电流表表示的是流过R2的电流.由可知，当R2增大时也增大.也就是如果以U3为纵坐标，以I为横坐标.那么该图像的斜率应当增大.所以（A）和（D）选项不正确.

学生B：P向下滑动过程中，R2增加，I减小，即A示数减小，U内＝I r减小，路端电压U1＝E－Ir，从该表达式看出U1与I是线性函数，图线的斜率的绝对值为电源的内阻r，因此（C）选项错误.由U2＝I R1，因为R1是定值电阻，该表达式表示U2－I图像是经过原点的直线，图线的斜率是R1，所以（B）选项正确.由U3＝E－Ir－U2＝EI（r＋R1），由该表达式可知斜率是定值.所以（D）选项正确.又由和知道b代表U1与I的关系的图线，a代表的是U3与I的关系的图线.所以（A）选项正确.

究竟哪个学生的分析正确呢？感觉两种说法都有道理.下面我们先来看下面一题，然后来讨论上面哪个学生的分析是正确的.

小灯泡通电后其电流I随所加电压U变化的图线如图2所示，P为图线上一点，PN为图线在P点的切线，PQ为U轴的垂线，PM为I轴的垂线，则下列说法中正确的是

图2

那么为什么学生易错选（B）呢？首先是在初中阶段，学生遇到的主要是定值电阻，此时点斜率和切斜率没有区别.故老师在教学中不再区分两种斜率.学生记忆的结果是在导体的伏安特性曲线图上图线的斜率的倒数就是电阻.另外小灯泡的伏安特性曲线图上小灯泡的电阻虽然是非线性变化的.但是随着电压的增大，点斜率和切斜率都在减小，表现为小灯泡的电阻都在增加.因此并不能把点斜率和切斜率不同的矛盾暴露出来.其次在高中阶段，学生在分析位移时间图像时，图像的斜率表示物体的速度.在分析速度时间图像时，图像的斜率表示物体运动的加速度.而此时的斜率都是指切斜率.最后数学上斜率的定义也是也是指切斜率.以上三个原因使学生潜意识中认为的斜率就是切斜率.当伏安特性曲线是曲线时，虽然斜率k减小，表示R增大这一规律仍成立，但图像上某点对应的切斜率的倒数已经不等于R了.因此导体在P点时的电阻应当计算导体在此电压下电阻在该位置的点斜率的倒数作为P的电阻.通过上述的讨论我们明确了这一点.导体的电阻应当用点斜率来计算只有当导体是定值电阻时，由于切斜率等于点斜率，才可以用切斜率来计算

现在我们可以来讨论本文开始提出的问题了.对于学生A，认为实质上是用到了用切斜率来表示R2的电阻.但是上式成立的前提是R2是定值电阻.即满足R，但是R2在增大，不是定值电阻.实际上R2＝的增大只能说明增大而不能说明增大.事实上通过学生B的分析是一个定值.通过上面讨论，我们应当在教学过程中让学生能区分切斜率和点斜率.才不至于当电阻的阻值发生变化时把电阻两端电压的变化量与电流的变化量的比值当成电阻值.