探寻弹簧弹力做功类试题的命制思路

金嵩洲 姚天波

（浙江上虞春晖中学，浙江 上虞 312353）

人教版必修2“探究弹性势能的表达式”一节，没有给出弹性势能（取弹簧原长为零势能处）的表达式命题专家集思广益，精心设计弹簧弹力做功类试题，既回避了的使用，又考查了学生过程分析的能力.笔者细细推敲，认为这类试题主要有两种命制思路，现述如下.

1 通过其他途径变通、转化求解

1.1 利用F－x图像变通

例1.如图1，一根轻质弹簧左端固定在水平桌面上，右端放一个可视为质点的小物块，小物块的质量为m＝1.0kg，当弹簧处于原长时，小物块静止于O点，现对小物块2.4（J），且Wf＝fx＝1×0.1＝0.1（J），得W弹＝2.3J（负功），故弹簧储存的最大弹性势能为2.3J.

图1

1.2 利用功能原理转化

例2（2011年福建高考题）如图3为某种鱼饵自动投施加一个外力，使它缓慢移动，压缩弹簧至A点，压缩量为x＝0.1m，在这一过程中，所用外力与压缩量的关系如图2.然后释放小物块，让小物块沿桌面运动，已知O点至桌边B点的距离为L＝2x.计算时可认为滑动摩擦力等于最大静摩擦力，g取10m／s2.求：

（1）在压缩弹簧过程中，弹簧储存的最大弹性势能.

解析：F≤1N时，x＝0m，说明此时F与静摩擦力平衡.

F＝1N时，静摩擦力达到最大值f静max＝1N，得滑动摩擦力f滑＝f静max＝1N.

图2

之后，物块缓慢移动，F做正功，f滑与F弹做负功，其大小WF＝Wf＋W弹，则W弹＝WF－Wf.图2中F关于x线性变化，故可用平均力计算功放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的1／4圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧.投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上段放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去.设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为0.不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能.已知重力加速度为g.求：

图3

（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v1；（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep；（3）略.

解析：（1）由mgR＝mv12／R，得

利用功能原理转化、迂回求解是命制弹簧弹力做功类试题的常规思路.若遇多物体相互作用，还可借助整体法隔离法、牛顿运动定律、动量守恒定律等多种手段综合分析.

2 选取特殊位置，使弹簧弹力做功为0

2.1 选取同一位置，弹簧弹力做功为0

图4

例3.（2005年全国高考题）如图4，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.若将C换成另一个质量为（m1＋m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g.

解析：第2次B刚离地时与第1次B刚离地时A的位置相同，则两次弹簧弹力做功相等，即W弹1＝W弹2.

设开始静止时弹簧压缩量为x1，则

B刚要离地时弹簧拉伸量为x2，则

故前后A共上升高度为h＝x1＋x2＝（m1g＋m2g）／k.

第1次恰好使B离开地面但不继续上升，则这一瞬间A、B、C速度均为0.

第2次B刚离地时其速度为0，A上升同样高度，且A、D速度相同.

即

因W弹1＝W弹2，（2）式减去（1）式约去弹簧做功项，则

2.2 选取关于原长对称位置，弹簧弹力做功为0

例4.如图5，在倾角为θ足够长的光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态.现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，已知重力加速度为g，求：物块B刚要离开C时A的速度大小.

解析：设未施加力F时弹簧的压缩量为x1，对A研究，mAgsinθ＝kx1，mA＝m，得x1＝mgsinθ／k.

当B刚要离开C时，设弹簧的伸长量为x2，对B研究，mBgsinθ＝kx2，mB＝m，得x2＝mgsinθ／k.

至刚要离开C，B恒静止.对A全程分析：F（x1＋x2）其中h＝（x1＋x2）sinθ.

图5

因为x1＝x2，即弹簧始末位置关于原长对称，故在这两个位置储存的弹性势能大小相等，因此全程W弹＝0，得

点评：这类试题命制思路独具匠心，通过选取特殊位置，巧妙地回避了弹簧弹力做功，对过程分析的要求较高，技巧性强.