一切从定义出发，再谈匀速圆周运动速度方向的变化率

王爱华

（江苏省东海中等专业学校，江苏 东海 222300）

最近笔者阅读了本刊2011年第8期沈老师撰写的《关于向心加速度的物理意义及什么是描述速度方向变化快慢的物理量的思考》一文，发现许多看似简单的物理问题，都不能贸然做出结论.顺着沈老师文章的指引，笔者又拜读了本刊2011年第2期汤老师和龚老师的两篇文章.正如沈老师所言，二者的结论截然相反.

纵观3篇文章，汤老师认为在匀速圆周运动中，向心加速度不能反映速度方向变化的快慢，龚老师认为向心加速度可以反映速度方向变化的快慢，而角速度不可以；沈老师认为向心加速度不如角速度来得更准确.

谁都有些道理，谁的道理又都不是那么强而有力.

研读了这3篇文章，它们的共同点就是忽略了物理量的矢量特性.有的是把矢量与标量混同（例如角速度ω与角速度的大小ω，前者是矢量，后者是标量.在使用时，3位教师都没有加以区别）；有的是没有用科学的方法来表示矢量的方向（例如沈老师在二维笛卡尔坐标系里，用速度与横轴之间的夹角φ来表示速度方向，然而表示方向的量，本身却是标量）.

看来要把问题说得明白，只有从各物理量的定义出发，用矢量分析的方法才能弄清楚各物理量间的关系.

物理量分为标量和矢量，标量是只有大小没有方向的物理量，而矢量是既有大小又有方向的物理量.标量的变化量同样是标量，是没有方向的；标量对时间的导数称为标量的变化率，同样没有方向，也是标量，其绝对值表示标量的变化快慢.矢量的变化量仍然是矢量，是有方向的，从前一个矢量的箭头指向后一个矢量的箭头（符合矢量三角形法则）；矢量对时间的导数称为矢量的变化率，也是矢量，它的方向为原矢量矢端曲线的切线方向，且指向对应t值增大的方向.矢量变化率的模是标量，没有方向，例如位移矢量的变化率是速度矢量，而速度的大小称为速率，则是标量，只有大小，没有方向.

图1

在圆周运动中（如图1），位移矢量可以表示为

r＝Rn（R 为常量，n为径向单位矢量函数）.

位移矢量的变化率（速度）为

v是标量函数，τ是切向单位矢量函数.

速度变化率（加速度）为

其中切向加速度为

径向加速度（向心加速度）为

如果是匀速圆周运动，则有切向加速度为

径向加速度（向心加速度）为

an＝是恒定标量，表示速度变化的快慢，量纲为［LT－2］，n为单位径向单位矢量函数.

在圆周运动中，角位移可以表示为

θ＝θk.（θ为标量函数，k为z轴单位矢量）

角位移矢量的变化率（角速度）为

ω是一个方向恒定的矢函数.

在匀速圆周运动中，则有角速度ω＝ωk，是一个恒定的矢量，角速度的大小（也称角频率）ω是恒定标量，量纲为［T－1］.

在圆周运动中，速度的方向为τ（切线方向单位矢量函数），其变化率为

ω就是是匀速圆周运动的角速度大小，是一个恒定的标量，可以表示匀速圆周运动速度方向变化的快慢，量纲为［T－1］，n表示径向单位矢量函数.

综上所述，在物体在做匀速圆周运动时，速度变化率就是向心加速度，其大小（亦即速度变化的快慢）为恒定标量，量纲为［LT－2］，方向为－n（n为径向单位矢量函数）.速度方向的变化率没有专门物理量与之对应，其大小（亦即速度方向变化快慢）为恒定标量ω（角速度的大小），量纲为［T－1］，方向为－n（n为径向单位矢量函数）.

原来在匀速圆周运动中，速度方向的变化率ω2R（与速度变化率方向相同，量纲不同）的方向与向心加速度相同，都指向圆心，大小（亦即速度方向变化的快慢）却与角速度大小ω有关.这个左右都沾边的物理量，在物理学中没有专门名称（说它是向心加速度，量纲不同；说它是角速度，方向又不同），也没有专门的动力学量与之对应（例如，向心加速度有向心力与之对应）.正如沈老师所言，它是一个无实际价值的物理量，在一般的教学中，我们要尽量回避它.在避不开时，我们又必须依据它的定义，沿着数学推导的路径，彻底地弄清它.如果一味回避，或者从一些想当然的结论出发，必然会使许多概念都含混不清.

1 汤家合.对向心加速度物理意义的探讨.物理教师（教学研究版），2011（2）.

2 龚劲涛，魏标.加速度能表示速度方向变化快慢吗？物理教师（教学研究版），2011（2）.

3 沈瑞清.关于向心加速度的物理意义及什么是描述速度方向变化快慢的物理量的思考.物理教师（教学研究版），2011（8）.