寻找接触物系的相关加速度

袁张瑾

（宁波效实中学，浙江 宁波 315010）

有关接触物系接触点的速度特征，在中学物理中常有涉及，也归纳了相应的解决办法.由接触物的力学性质及“接触”的约束条件可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变违反接触的约束条件.根据接触物系接触点的相关速度特征，很多教师和学生自然地认为接触点的相关加速度也具有相同的特征，由此出现了一些常见错误.

例题.如图1所示，一个半径为R的半圆柱体沿水平方向以加速度a做匀加速直线运动，半圆柱面上搁着一根只能沿竖直方向运动的竖直杆，当半圆柱体速度为v时，杆与半圆柱体的接触点A与柱心O的连线与竖直方向的夹角为θ，求此时竖直杆的速度和加速度分别为多少？

常见解法：这是接触物系相关速度和相关加速度问题.根据接触物系接触点的速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图2所示，即

故v杆＝vtanθ，方向向上.同理得杆的加速度a杆＝atanθ，方向也向上.

图1

图2

由上述方法求出的杆的加速度是否存在问题？杆的加速度值的求解能否简单地从速度值的求解中迁移过去？

以下是笔者对此问题的解法，供参考.

方法1：根据接触物系接触点的加速度相关特征求解.

由图2（a）可知，此时杆相对柱体的速度分量为vt＝对应图中大三角形的斜边），方向沿A点切线，如图3所示.若以柱体为参考系，则杆相对柱体有向心加速度为方向指向柱体中心O.杆相对柱体也具有切向加速度，但切向加速度不影响法向加速度，故暂不分析.

现根据接触物系接触点法向加速度分量相等求解，建立矢量式为

图3

a杆对地n＝a杆对柱n＋a柱对地n，即asinθ，解得若式中a杆＞0，则杆的加速度方向向上，反之则向下.

方法2：根据杆的运动只沿竖直方向，杆对地的水平加速度为0的特征求解.

杆相对柱有切向加速度at，设at方向同vt，如图4所示.依据杆对地的水平加速度为0，可列式：ansinθ＋atcosθ－a＝0，即得因此杆的加速度a杆＝atsinθ－ancosθ，代入解得

图4

方法3：利用数学方法对位移求两阶导数.

以柱心O为坐标原点，建立如图5所示的坐标系.依题意，柱右移，杆上升，以柱为参考系，杆与柱的接触点从A（x0，y0）升至B（x，y），则有

图5

对y方向上的位移求一阶导数有

再对v杆求导有

导数是高考数学的必考内容，物理竞赛中也有较多的问题用求导可以十分方便地解答.因此在中学物理竞赛辅导中应用导数寻找物体间的相关加速度，这是可行且必要的.