一类具有扩散和比例依赖响应函数捕食模型解的稳定性①

杨小莉

(西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃兰州730070)

0 引言

文献[1]给出了具有比率依赖型功能反应函数的模型

其中u，v分别表示食饵和捕食者的密度函数，a，b分别表示各自的内禀增长率．f(u，v)=βu/(u+mv)为比率依赖型功能反应函数，它考虑到捕食过程中食饵起到的影响，反映了捕食者和食饵之间的相互作用关系．v方程中的v/u，称为Leslie－Gower项[2]，它表示环境对捕食者的承载能力依赖于食饵的数量．Ω是n中具有光滑边界的有界区域，η是∂Ω上的单位外法向量，齐次Neumann边界条件表示系统(1)是自包含的且边界上没有种群迁移．初值u0，v0是光滑正函数．d11，d22是u，v的扩散率．(1)中的参数都假定为正常数．

其中d12，d21是交错扩散系数．一般地，交错扩散系数可以取正值，负值或零．其生态学解释按文献[2]的观点是:一种群带正的交错扩散系数表示该种群从另一种群的高密区向低密区扩散，而扩散系数为负表示该种群从另一种群的低密区向高密区扩散．

本文总假设(2)成立，主要研究交错扩散对平衡点E1的稳定性的影响．

1 ODE系统中E1的稳定性

本节在d11=d12=d21=d22=0时，考察E1的稳定性．平衡点E1处的线性化矩阵为

当(2)成立时，

由Routh－Hurwitz判别法知，下面的结论成立．

定理1 当d11=d12=d21=d22=0时，正平衡点E1局部渐近稳定．

2 系统(1)中E1的稳定性

令0=μ1＜μ2＜μ3＜…是算子－△在Ω上带齐次 Neumann边界条件的特征值，E(μi)是H1(Ω)中与特征值μi相应的特征子空间．令X=u∈[H1(Ω)]2:∂ηu=0，x∈∂Ω}，Xij={c·φij:c∈R2}，其中{φij:j=1，…，dimE(μi)}是空间E(μi)的一组正交基，则

令U=(u，v)，D=diag(d11，d22)，L=D△+J1．则(1)在E1处的线性化方程为Ut=LU．对任意的i≥1，λ是算子L的特征值当且仅当λ是－μiD+J1的特征值．而－μiD+J1的特征多项式为

φi(λ)=λ2+[μi(d11+d22)－(a11+a22)]λ+结合(5)和(6)式知μi(d11+d22)－(a11+a22)＞0，a11a22－a12a21＞0，所以只要d11a22+d22a11＜0就可以推出μ2id11d22－μi(d11a22+d22a11)+a11a22－a12a21＞0．即当时，E1是(1)的局部渐近稳定的平衡点．

进一步，当a＞，即时，对任意的正常数d11和d22，E1都是局部渐近稳定的．这说明当食饵的内禀增长率大时，扩散不会引起不稳定．

3 系统(3)非负常数平衡解的稳定性

本节讨论系统(3)正平衡点E1的稳定性．系统(3)在平衡点E1处的线性化算子为

特征多项式为

因为μi(d11+d22)－(a11+a22)＞0，a11a22－a12a21＞0，d11d22－d12d21＞0⇔d12，只要d11a22+

d22a11－d12a21－d21a12＜0，就有+a11a22－a12a21＞0．

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