齿轮时变系统在随机激励下的响应分析

鲍春梅，吕士宝，张 丽

(兰州交通大学数理与软件工程学院，兰州 730070)

齿轮系统为一种最常用的传动机构。齿轮系统的振动直接影响机械系统的性能和工作可靠性。齿轮系统在工作过程中会受到各种随机激励因素的干扰，使得齿侧间隙和啮合刚度随时间变化，此外齿轮系统在工作过程中还存在阻尼和外激励等随机因素，这些随机因素对齿轮传动的平稳性、可靠性和寿命产生影响。近几年来，国内外学者对考虑齿侧间隙、轮齿啮合刚度变化等非线性因素的齿轮系统动力学问题进行了深入研究。Kahraman和Singh［2］利用打靶法深入研究了齿轮系统周期解的分岔和混沌过渡等现象。卢剑伟等［4］对参数随机扰动下齿轮非线性系统动态性能进行了分析。本文分析齿侧间隙、时变啮合刚度和阻尼等参数扰动对齿轮系统动力学特性的影响。

1 齿轮系统模型的建立

在不考虑齿面摩擦的情况下，采用集中质量法建立直齿圆柱齿轮副的啮合耦合型动力学模型，如图1所示。该模型是一个二维平面振动模型，具有4个自由度，分别为主、被动齿轮绕旋转中心的转动自由度和Y方向的平移自由度，表示为{yp，θp，yg，θg}T。其中 Rp、Rg为主、被动齿轮半径;Tp、Tg为主、被齿轮转动力矩;I1、I2分别为主、被动齿轮的转动惯量;cpy、cgy为主、被动齿轮平移振动阻尼系数;kpy、kgy为主被动齿轮平移振动刚度系数;e为齿轮的静态传递误差。根据牛顿第二定律，可得到图1所示系统的运动微分方程

图1 耦合动力学模型

齿轮间的啮合力主要由时变啮合刚度引起的弹性啮合力(即齿轮传动的动载荷和啮合阻尼)引起的黏性啮合力组成。设弹性啮合力为Fk，黏性啮合力为Fc

其中km、cm分别为齿轮副啮合综合刚度和综合阻尼。

由方程(1)、(2)联立即得系统的振动方程，将4自由度系统振动方程写成矩阵形式为

其中:δ=yp+Rpθp-yg+Rgθg-e

2 模型的求解

利用Duhamel’s integration可得方程(3)的形式解为

其中:h(t)为系统的脉冲响应函数;τ为时间积分变量。

对于任意激励F，由Duhamel’s integration可得到

3 模型的分析

根据文献［6］，量纲一化的齿轮系统的运动方程可以表示为

其中:x为量纲一化的齿轮传动系统的动态传递误差;ξ和k(t)分别为啮合线方向上的阻尼比和时变刚度系数。若仅考虑由静传递误差引起的内部激励，则 F(t)=Fm+Fahω(ωeht+φe)，其中:Fm为量纲一平均荷载;Fah和φε分别为量纲一内部激励幅值和初始相位;f(x)为齿轮系统的间隙函数，可以表示为

4 参数对系统动态特性及动态响应的影响

4.1 随机激励频率的影响

由于电机转动的不平稳性和皮带摩擦等各种因素都会导致动力载荷F(t)的随机性，本文利用脉冲响应法，讨论齿轮副在简谐激振力 F=F0sinωt下的响应。将任意激励分解为一系列脉冲的连续作用，分别求出系统对每个脉冲的响应，然后按照线性系统的叠加原理，得到系统对任意激励的响应为

利用分步积分，令 t'=t-τ，dτ=-dt'，可得

激励频率与系统固有频率之比随时间变化的动态响应曲线如图2所示。从图2可知，激励频率等于系统固有频率，频响函数的振动幅值较大，发生共振的峰值也较高。

图2 激励频率与系统固有频率之比随时间变化的动态响应曲线

4.2 时变啮合刚度的影响

在齿轮连续运转过程中，随着单齿对啮合和双齿对啮合的交替进行，轮齿的啮合刚度会随时间周期性变化，即 k(t)=1+cεcos(ωmht+ φmh)，假设ωmh=ωeh。一般说来，当k(t)最小时，在平均荷载Fm的作用下，齿轮变形Fah(t)应为最大，而最大的k(t)则对应于最小的Fah(t)，所以k(t)和Fah(t)的相位是反相的，即φmh=φe+π，因此为方便起见，可设 φmh=π，φe=0，则式(4)可化简为

本文利用变步长四阶Runge-kutta数值仿真方法对该系统的动力学方程进行数值求解，得到刚度啮合频率ωmh=3、2、1时齿轮系统的仿真结果，如图3所示。

图3 刚度啮合频率为ωmh=3、2、1时齿轮系统的仿真结果

4.3 阻尼比的影响

齿轮系统阻尼比的变化将严重影响系统的动力响应，选取参数 Fm=0.1，Fah=0.05，cε=0.2，ωeh=1，改变阻尼比ξ，分析系统动态响应的变化，结果如图4所示。

图4 系统动态响应的变化

由图4容易看出，随着阻尼比的增大，齿轮传动系统振动的位移-时间曲线的振荡周期基本不变，但振荡的幅值却明显衰减，很快地降低了齿轮啮合过程中的振动。

5 结论

1)外界随机激励对系统的影响由系统参数m、ω、ξ决定，即外界激励通过系统本身的内在特性而起作用，引起系统的强迫振动。

2)当齿轮连续运转时，具有齿侧间隙的齿轮副的啮合刚度会周期性变化。随着时变啮合刚度激励频率的增大，振动幅值不变，但时间历程转变为非谐周期解。

3)齿轮系统激励频率、阻尼比等参数的随机扰动对于系统动力学响应会产生一定影响，在以后建模分析中应予以考虑。

［1］李润方，王建军.齿轮系统动力学:振动、冲击、噪声［M］.北京:科学出版社，1997.

［2］Kahraman A，Singh R.Nonlinear dynamics of a spur gear pair［J］.Journal of Sound and Vibration，1990，142(1):49-75.

［3］Velex P，Ajmi M.On the Modeling of Excitations in Geared System by Transmsion Errors［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，209(3):882-909.

［4］WeiLu Jian，LingZeng Fan.Influences of stochastic perturbation of parameters on dynamic behavior of gear system［J］.Journal of Mechanical Science and Technology，2011，25(7):1667-1673.

［5］LIU Haixia，WANG Sanmin，GUO Jiashun.Solution Domain Boundary Analysis Method and Its Application in Parameter Spaces of Nonlinear Gear System［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2011，24(3):678-693.

［6］唐进元，陈思雨，钟掘.一种改进的齿轮非线性动力学模型［J］.工程力学，2008，25(1):217-223.