基于卡尔曼滤波的DMC算法在CSTR中的应用

罗 霄

(重庆大学 自动化学院，重庆 400044)

连续搅拌反应釜(CSTR)是聚合物生产过程中广泛使用的生产设备，在染料、试剂、医药、食品以及合成材料等工业中占有重要地位。由于CSTR具有严重的非线性，常规控制方法难以取得令人满意的效果。因此，对CSTR采用更为先进的控制技术成为工程应用的研究热点。

预测控制算法在工业生产中得到普遍认可，其中使用最广泛的是动态矩阵控制(DMC)算法［1］。该算法采用工程上易于测取的有限长度阶跃响应序列作为预测模型，算法简单，计算量小，动态控制用符合实际工业特点的带约束二次优化命题来描述，对模型要求低，控制综合质量好，在线计算方便。该算法能显著提高非线性系统的控制质量，适合控制CSTR。

但是DMC自身存在一定的局限性。首先，在整个预测时域内，反馈校正是通过假设有1个固定的输出干扰而得到的［2］。虽然这种方法能够做到无静差控制，并且容易实现，但是缺乏对不可测扰动动态特性的提前预估，抗不可测干扰效果较差［3］。文献［4］指出，DMC的设定值跟踪效果优于PID控制，但在抑制不可测扰动方面不如PID控制。其次，DMC的多步预测和滚动优化虽有克服建模误差影响的能力，但对模型失配的鲁棒性有一定局限性，仍需要较准确的模型［5］。

本文使用在稳态工作点的线性化CSTR模型设计DMC控制器，在用Kalman滤波器估计出不可测扰动的大小后，采用前馈补偿控制方法对其进行控制，有效地抑制了扰动对系统的影响，提高了控制品质。本文方法具有较好的扩展性，可以很轻易地应用到其他控制系统中，并且对抑制由于扰动引起的动、静态偏差快速有效，具有较强的鲁棒性和干扰抑制能力。

1 CSTR过程

CSTR是一类典型的化工反应非线性过程，动态方程为［6］:

其中:CA和Tr分别是反应物的浓度和温度;Tc是冷却剂温度。根据文献［6］，将式(1)无因式化后得到

其中:x1、x2分别表示无因式化后的反应物浓度和温度;u表示无因式化后的冷却剂温度。过程控制的目标是操作冷却剂流量来调节反应物温度x2。

2 不可测扰动抑制方法设计

2.1 不可测扰动的建模与估计

DMC和卡尔曼滤波器采用式(2)表示的线性化离散化模型。取过程参数Da=0.072，φ=20，Bh=8，β=0.3，稳态工作点=y0=1.33=(x10，x20)=(0.2，1.33)=u0=0.421，采样时间0.6 s。将方程(2)在平衡点线性化、离散化，得:

其中:

容易得到式(3)对应的离散卷积模型

其中，脉冲响应系数h(i)是在k=0时刻系统输入端加入幅值为1、宽度为0.6 s(采样周期)的脉冲后，系统输出的各采样时刻的值。可通过

得到DMC的阶跃响应系数sk。

批次不同的化工物料的密度、浓度和比热等属性会存在不同。反应物料的性质变化会导致CSTR的反应过程表现出变化的放热特性［7］，而这种变化的特性是不可测的。此外，CSTR的线性化过程也导致式(2)和式(3)之间存在偏差。本研究引入输入干扰d、输出干扰p来代表各种因素对系统的影响，并将干扰视为附加的状态变量增广到系统中［2］，则带有不可测干扰的CSTR模型为

其中 Gp决定状态对输出影响，通常取 Gp=I［2］。令

则带有不可测干扰的CSTR模型为

考虑实际生产过程中的噪声，使用如下的带有过程噪声w和观测噪声v的模型:

此处，对有噪声和无噪声模型采用了同样的符号，但要注意区别。扩展状态的估计可使用卡尔曼滤波得到:状态滤波增益

被分解为过程模型状态滤波增益K1(k+1)、输入扰动滤波增益K2(k+1)和输出扰动滤波增益K3(k+1)，每个周期的增益由下式得到:

其中Q和R分别为过程噪声协方差阵和观测噪声协方差阵。利用卡尔曼滤波器在每个采样周期估计出d和p的大小后进行前馈补偿，消除干扰对系统的影响。

2.2 前馈控制器设计

2.2.1 具有前馈补偿的DMC算法

一般情况下，文献［8］中的第1种DMC算法不能保证稳态误差。本文设计的具有前馈补偿的DMC算法正是基于这种DMC算法的，数学符号的意义请适当参考文献［8］。

由叠加原理可知，操作变量和干扰对系统输出的影响是相同的，因此可将估计出的值加到DMC算法的预测、校正环节，从而改变即时控制增量，实现干扰的抑制。具体推导过程如下:

在时刻k，未来P个时刻的模型输出预测值为

P为预测时域，M为控制时域，其中

为假设当前和未来时刻控制作用不变时的输出预测值，N为模型长度。采用前馈后，系统输入为

其中:um(k)为操作变量产生的输入;^d(k)为卡尔曼滤波器估计出的干扰值。由式(5)、(6)可得

其中:

式(8)、(9)分别为假设当前和未来时刻控制作用不变时操作变量和干扰产生的输出预测值。

另记

其中:

ym(k)、yn(k)分别为操作变量和干扰产生的输出，且:

用式(10)来校正未来的输出预测。记:

由式(7)、(10)、(13)可得

其中:

分别表示假设当前和未来时刻控制作用不变时操作变量和干扰产生的输出预测值经过校正后的值。将式(15)写成矢量形式有

其中:

将经式(13)、(14)校正后的输出预测值写成矢量形式:

其中

A为动态矩阵，是由式(4)的阶跃响应系数sk组成的P×M阵。

采用性能指标

优化Δu(k)，使J(k)取极小值的Δu(k)可以通过极值必要条件dJ(k)dΔu(k)=0求得，且由式(14)有

2.2.2 输出干扰的前馈控制器设计

其中y'(k)为受到干扰p影响的输出。由式(10)、(18)可知，减去后，输出误差变为

由式(13)、(14)、(19)可知，新的输出误差值¯ε(k)在反馈校正环节扣除了干扰对输出的影响，从而构成新的输出预测值，达到克服干扰的目的。

3 仿真研究

根据线性化模型(3)设计DMC控制器，各参数为:模型长度N=50;优化时域P=16;控制时域M=2;误差权矩阵控制权矩阵0.01I2×2;误差校正系数

Kalman滤波器相关参数为:过程噪声协方差Q=2×10-3;观测噪声协方差R=2×10-3，初始协方差阵P0为4行4列的单位矩阵。控制目标是 x2=1.33。

图2中曲线2为模型(2)的输出响应曲线，采用卡尔曼滤波器后未使用前馈补偿，温度x2受干扰影响后不能达到设定值1.33。将式(2)右边乘以0.9作为系统的控制对象并采用前馈补偿，输出响应曲线3完全达到预期控制目标，实现了无静差控制。可见，具有前馈补偿的DMC算法能克服不可测干扰和模型失配对系统的影响。

在实际生产中，不同生产阶段采用不同的物料，不可测干扰会发生变化，如果干扰变化缓慢，同样可以采用前馈补偿对其进行抑制。

图1 恒值不可测干扰

图2 不可测恒值干扰抑制效果对比

图4给出了原DMC算法和改进的DMC算法在系统存在非恒值不可测干扰时CSTR的输出响应。从图中可看出，改进的DMC算法完全抑制了不可测干扰对系统的影响，实现了无静差控制。由于化工系统复杂多变，因此对非恒值不可测干扰的抑制具有很强的实际意义。

图3 非恒值不可测干扰

图4 不可测非恒值干扰抑制效果对比

4 结束语

本文以CSTR的温度跟踪问题为研究对象，针对不可测干扰和模型失配对输出影响规律未知的情况，以干扰模型为基础，设计了一种基于卡尔曼滤波器的前馈补偿DMC算法。由于卡尔曼滤波器和预测控制器都采用线性设计方法，因此该算法在线计算量少，满足控制实时性的要求，同时有效克服了不可测干扰和模型失配对CSTR系统输出的影响，改善了温度跟踪的精度，实现了无静差控制。仿真结果表明，该方法具有较强的干扰抑制能力和鲁棒性，能显著提高DMC的控制性能。

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［5］钱积新，赵均，徐祖华.预测控制［M］.北京:化学工业出版社，2007.

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