拟线性热方程的函数分离变量解

娄丹,谢离丽

(西北大学数学系,陕西 西安 710069)

拟线性热方程的函数分离变量解

娄丹,谢离丽

(西北大学数学系,陕西 西安 710069)

用群状结构法研究拟线性热方程的分离变量解,对于允许和型分离变量解的二阶拟线性热方程给出了一个完整的分类.说明了一些带有函数类型反应项的方程具有函数分离变量解,推广了前人的结论.

函数分离变量解;群状结构法;拟线性热方程

1 引言

本文研究带有反应项的拟线性热方程

的函数分离变量解,其中K(u),D(u)均为足够光滑的函数.分离变量法是用来解决数学物理中的带有初边值条件偏微分方程的有效方法.李点对称的方法[1]在带有变系数的线性偏微分方程的分离变量解的研究中扮演了十分重要的作用[2].对非线性的偏微分方程而言,一个自然的问题就是它们是否存在分离变量解.因此,研究非线性偏微分方程的分离变量解是有意义的.例如文献[3]对带有热源项的非线性反应-扩散方程

的函数分离变量解作了具体的研究.

对于(n+1)维非线性偏微分方程:

这里u=u(x,t),x=x(x1,x2,…).

如果方程(2)有形如u=φ(x)+ψ(t)的解,称之为和形式的分离变量解;如果方程(2)有形如u=φ(x)ψ(t)的解,则称之为乘积形式分离变量解.

如果方程(2)有形如f(u)=φ(x)+ψ(t)的解,这里f(u)/=u,f(u)/=ln u,称之为函数分离变量解.研究表明许多非线性偏微分方程有函数分离变量解.

文献[3-5]中分别研究了方程:

的函数分离变量解.

下面将讨论带有反应项的拟线性热方程(1)的函数分离变量解.

2 群状结构法

3 拟线性热方程的函数分离变量解

4 结论

本文利用群状结构法讨论了拟线性热方程的函数分离变量解问题.结论是对于某些具有函数类型反应项的方程,能得到函数分离变量解.

[1] Bluman G W, Kuwei S. Symmetries and Differential Equation[M]. New York: Springer, 1989.

[2] Miller W. Symmetry and Separation of Variables[M]. Reading: Addison-Wesley, 1977.

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[7]勾明.拟线性波方程的函数分离变量解[J].兰州大学学报:自然科学版,2009,45(1):107-111.

Functional separable solutions to quasi-linear heat equation

Lou Dan,X ie Lili
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710069,China)

In this paper, we considered the separable solutions to the quasi-linear heat equation with the group foliation method. A classification was carried out for the second order heat equations which admit additive separable solutions. The result is an extension of some known conclusions about the functional separation of variable solutions.

functional separable solution, group foliation method, quasi-linear heat equation

O175.2

A

1008-5513(2012)02-0242-05

2011-05-20.

国家自然科学基金(10671156).

娄丹(1985-),硕士生,研究方向:偏微分方程.

2010 MSC:38Q80