带非局部积分项常微分方程的讨论及其应用

朱一峰,边保军

(1.美国埃默里大学经济系,亚特兰大 30322;2.同济大学应用数学系,上海 200092)

带非局部积分项常微分方程的讨论及其应用

朱一峰1,边保军2

(1.美国埃默里大学经济系,亚特兰大 30322;2.同济大学应用数学系,上海 200092)

研究带非局部积分项的二阶线性常微分方程及其在金融保险上的应用.首先讨论带非局部积分项的二阶常微分方程解的存在唯一性,通过变量代换和累次积分交换积分顺序将非局部项简化,将方程化为方程组,然后完成了对方程组解的存在唯一性的证明.接着分析了带非局部项的二阶常微分方程解的结构,给出了方程解的形式.最后通过推导,指出带非局部项的线性常微分方程在保险公司的破产概率研究中的应用,重点放在二阶方程的应用上,并且在某一特定情况下,举出了一个可以给出解析解的例子.

非局部积分项;二阶常微分方程;破产概率

1 引言

1997年4 月25 日,日本互助生命保险公司宣告破产,结束了“日本保险公司不倒的神话”时期,接下来东邦生命,第百生命,第一火灾海上等保险公司也相继倒闭,进一步影响了人们对保险公司的信任度.美国也从1989年“黑色星期一”起,保险公司破产数量明显增加.受2008年全球金融风暴的影响,使中国正在发展的保险业受到了怀疑.怎样有效地降低保险公司破产概率,继而保证保户的利益成了人们更加关心的话题.相关的研究从文献[1]开始,近期的研究则集中于基本模型下增加考虑因素及提供一些解析解,文献[2-3]即考虑了税负因素.

本文就是要研究破产概率所涉及到带非局部积分项的常微分方程.如果考虑风险投资,破产概率所满足的微分积分方程就是二阶方程,如果不考虑,所满足的方程就是一阶的.最后在特定情况下,给出方程的解.说明哪些因素可以影响保险公司的破产概率,这同时也说明这类方程有着非常广泛的应用背景.

2 带非局部积分项的二阶常微分方程初值问题解的存在唯一性

本文主要讨论带非局部积分项的二阶常微分方程,先给出方程的一般形式:

其中p(x),q(x),λ(x)是非常系数.

考虑定解问题(1)解的存在唯一性.令y′(x)=z(x),得到

3 带非局部项的二阶常微分方程解空间的结构

这里c1,c2是相应的确定常数.

所以,可知(8)式的线性无关解最大个数等于2,(8)式的所有解的集合构成一个2维线性空间.

定理3.3,定理3.4可以表述为:

定理3.5(8)式一定存在一个基解矩阵φ(x),如果ψ(x)是(8)式的任一解,那么

这里C是确定的常数列向量.

(8)式的两个简单性质:

性质3.1如果ψ(x)是(7)式的解,φ(x)是(7)式的对应的齐次方程组(8)式的解,则ψ(x)+φ(x)是(7)式的解;

性质3.2如果˜ψ(x)和˜φ(x)是(7)式的两个解,则˜ψ(x)-˜φ(x)是(8)式的解.

由性质2.2和定理2.5,可得如果φ(x)是(8)式的基解矩阵,fiφ(x)是(7)式的某一解,则(7)式的任何一解ψ(x)都可表为

这里C是确定的常数列向量.

4 在保险公司破产概率计算中的应用

带非局部积分项的常微分方程在金融方面有着广泛的应用,尤其是在计算保险公司破产概率时.设u＞0是保险公司初始准备金,保费收入按照固定比例c＞0随时间线性增长,即[0,t]期间保费收入为ct,用S(t)表示理赔额,Wt代表t时刻保险公司用以投资所得的不确定收入,则保险公司在时刻t时的盈余Rt,可以用下式简单表示出来:

在(9)式中,理赔{S(t)}是依赖于时间的随机变量,即随机过程.理赔过程{S(t)}由理赔次数(过程){N(t)}与每一次个别理赔额{Zk,k=1,2,…,Nt}复合而成.若是理赔次数N服从泊松分布,则称聚合理赔量S服从复合泊松分布.(9)式中σ＞0表示原生资产的波动率常量,{Wt}标准布朗运动.

下面在经典风险模型下讨论问题:

其中{Nt}是参数为λ＞0的泊松过程,在时间段(0,t)上记录下了理赔的次数;{Zk},k≥1是相互独立的非负的随机变量序列,Zk表示第k次理赔额.{Nt},{Zk},{Wt}相互独立.(10)式过程是连续时间的齐次强马尔可夫过程.

从(10)式中可以看出有两种可能性会导致保险公司的破产.一是由理赔所引发的破产,一是由于公司的投资不当所造成的破产.所以,文献[5]将(10)式的风险过程的破产概率分解成两个部分:由投资不当所造成破产的概率和由于理赔所造成破产的概率.假设破产概率是二阶可微的,他们得到了以级数明确表示的两种不同的破产概率.

说明增加保险公司的初始准备金,或提高费率,可以有效降低破产概率.若考虑了利率因素,因为所化成的方程中的系数不再全是常系数,所以解答起来和上面的方法有所不同,比较复杂,不过仍然可以用显式表达破产概率,本文不再累述.

参考文献

[1] Gerber H U. An extension of the renewal equation and its application in the collective theory of risk[J].Scandinavian Actuarial Journal, 1970(3):205-210.

[2] Albrecher H, Borst S, Boxma O, et al. The tax identity in risk theory-a simple proof and an extension[J].Insurance: Mathematics and Economics, 2009,44:304-306.

[3] Wang W, Ming R, Hu Y. On the expected discounted penalty function for risk process with tax[J]. Statist.Probab. Lett., 2011,81:489-501.

[4] 王高雄,周之铭,朱思铭,等.常微分方程[M].2版.北京:高等教育出版社,1983.

[5] Dufresne F, Gerber H U. Risk theory for the compound Poisson process that is perturbed by diffusion[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1991,10:51-59.

[6] Revuz D, Ypr M. Continuous Martingales and Brownian Motion[M]. Berlin: Springer, 1991.

[7] Port S, Stone C. Brownian Motion and Classical Potential Theory[M]. New York: Academic Press, 1978.

[8] Wang G, Wu R. Some distributions for classical risk process that is perturbed by diffusion[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2000,26:15-24.

[9] Gerber H U, Shiu E. From Ruin Theory to Option Pricing[M]. Cairns: AFIR Colloquium, 1997.

Discussion and application of ordinary differential equation with non-local integral term

Zhu Yifeng1,Bian Bao jun2
(1. Department of Economics, Emory University, Atlanta 30322, USA; 2. Department of Applied Mathematics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Second-order linear ordinary differential equation with non-local integral term inside are major discussed in this thesis. Firstly, we canvass the existence and uniqueness of the solution of the second-order ordinary integro-differential equation. By variable substitution and exchanging sequence of repeated integral, the non-local integral term can be simplified, the equation can be transformed into system of equations. Then, the proof of existence and uniqueness of the solution of equations are completed here. Second, we analyze the structure of the solution, also we give the solution form of the equation. At last, we point out the application of the ordinary integro-differential equation through deduction. It can be used in ruin probabilities′ of an insurance company. We focus our energies upon the application of the second-order equation. Furthermore, the explicit expressions for the integro-differential equations will be presented when the claims are exponentially distributed.

non-local integral term, second-order differential equation, ruin probability

O 175.1

A

1008-5513(2012)02-0219-09

2011-08-26.

朱一峰(1983-),博士生,研究方向:偏微分方程,金融经济学.

2010 MSC:91B30