(ω,σ)-Sm ash积和(ν,α)-Sm ash余积

郑乃峰

(宁波大学理学院,浙江 宁波 315211)

(ω,σ)-Sm ash积和(ν,α)-Sm ash余积

郑乃峰

(宁波大学理学院,浙江 宁波 315211)

设B,H是两个Hopf代数,构造了(ω,σ)-Sm ash积Bω#σH和(ν,α)-Smash余积Bν▻◅αH,并给出了Bω#σH是Hop f代数和Bν▻◅αH是双代数的充要条件,证明了许多已知的积和余积是它们的特殊情况.

Hop f代数;交叉积;Smash积;Smash余积

1 引言

最近几年,很多文章都讨论了两个Hop f代数上的各种积的构造[18].文献[1]中构造了一种新的Smash双积,这种积包含了很多在它之前文献中出现的关于积的构造.例如,通常的Sm ash积[2],扭曲的Sm ash积和扭曲的Sm ash余积[3],D rin fel′d doub le积[4],Doi-Takeuchi′s积[5]等均是它的特例.文献[6-8]把群交叉积的理论推广到了Hop f代数上,定义并研究了Hop f代数上的交叉积,Boca给出了交叉积是Hopf代数的充分条件.但是,文献[1]中的Smash双积不能包含文献[6-8]中的交叉积结构,同时,文献[6-8]中的交叉积也不能包含文献[1]中的Smash双积.本文的主要目的是构造一类新的(ω,σ)-Smash积及一类新的(ν,α)-Smash余积,证明了文献[1]中的Smash双积与文献[6-8]中的交叉积都是本文的特殊情况,并推广了文献[1]和文献[6-8]的相应结论.

设K为域,所讨论的代数、余代数均指域K上的,所有的映射都是K-线性映射.对于任意一个余代数C及任意的c∈C,采用Sweed ler的记号,记△(c)=∑c1⊗c2(见文献[9]).

2 (ω,σ)-Sm ash积

本节先构造了一个代数(ω,σ)-Smash积.然后,利用这种积和张量余积构造了一类新的Hop f代数,证明了许多已知的积是它的特殊情况.为方便,分别记1B为1,1H为^1.

定义2.1设B和H是两个代数,ω:B⊗H→H⊗B是线性映射,∀b∈B,h∈H,记

3 (ν,α)-Sm ash余积

[1] Caenepeel S, Ion B, Militaru G, et al. The factorization problem and the smash biproduct of algebras and coalgebras[J]. Alg. Repr. Theory, 2000,3:19-42.

[2] Molnar R K. Semi-direct products of Hopf algebras[J]. J. Algebra, 1977,47:29-51.

[3] Wang S H, Li J Q. On twisted smash products for bimodule algebras and the Drinfeld double[J]. Comm. algebra, 1998,26(8):2435-2444.

[4] Drinfeld V G. Quantum groups[C]//Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Provi-dence: Berkeley, 1987.

[5] Doi Y, Takeuchi M. Multiplication alteration by two-cocycle[J]. Comm. Algebra, 1994,22(14):5715-5732.

[6] Blattner R J, Cohen M, Montgomery S. Crossed products and inner actions of Hopf algebras[J]. Tran. AMS, 1986,298:671-711.

[7] Doi Y, Takeuchi M. Cleft comodule algebras of a bialgebra[J]. Comm. Algebra, 1986,14:801-818.

[8] Boca I. A central theorem for Hopf algebras[J]. Comm. Algebra, 1997,25(8):2593-2606.

[9] Sweedler M. Hopf Algebra[M]. New York: Benjamin, 1969.

2010 MSC:16W 30

(ω,σ)-Sm ash p roduct and(ν,α)-Sm ash cop roduct

Zheng Naifeng

(College of Science,Ningbo University,Ningbo 315211,China)

Let B,H be Hopf algebras.W e construct an(ω,σ)-Smash p roduct Bω#σH and an(ν,α)-Smash cop roduct Bν▻◅αH.Necessary and suf cient conditions for the Smash product Bω#σH to be a Hopf algebra and the Sm ash cop roduct Bν▻◅αH to be a bialgeb ra are given.M oreover,m any products and cop roducts are all special cases of Bω#σH and Bν▻◅αH.

Hopf algebra, crossed product, Smash product, Smash coproduct

O153.3

A

1008-5513(2012)02-0167-09

2010-07-12.

浙江省教育厅基金(Y 200906783);宁波市自然科学基金(2011A 610172).

郑乃峰(1968-),副教授,研究方向：Hopf代数及量子群.