一类时滞系统的稳定性分析及控制器设计

邱金学,游成涛,章春国

(杭州电子科技大学数学系,浙江杭州 310018)

一类时滞系统的稳定性分析及控制器设计

邱金学,游成涛,章春国

(杭州电子科技大学数学系,浙江杭州 310018)

研究一类具有状态时滞和输入时滞的时变时滞线性系统.首先,通过选取合适

的Lyapunov-K rasovskii泛函,应用LMI方法和Lyapunov-K rasovskill稳定性定理对

时滞相关的系统进行稳定性分析,并设计了相应的控制器.改进了时变时滞线性系统方面的一些结果.最后用实例验证所得到结果.

时滞系统;Lyapunov-K rasovskii泛函;鲁棒稳定性;线性矩阵不等式(LMI);反馈控制

1 引言

在许多工程系统中,时滞往往是系统不稳定和性能变差的主要根源之一,因此时滞系统的稳定性分析和控制器的设计受到广大学者的关注[17].基于Lyapunov稳定性理论,采用LMI这一有效工具,学者们提供了时滞系统鲁棒稳定性分析和控制综合的一些方法,并得到了许多有效结果.

本文是在文献[8]的基础上考虑具有时滞的控制输入项.一般情况下,时滞常常被视为系统不稳定或系统性能变差的主要因素.因此在已有的时滞系统稳定性研究结论中,这样的系统不但考虑了状态时滞,还考虑了控制输入的时滞,且时滞是时变的,使得系统更具有一般性.同时,所得到的结果推广了文献[8]的结果,所用的方法:不是直接利用New ton-Leibniz公式对时滞进行替换,而是通过考虑New ton-Leibniz公式中各项的相互关系,引入若干自由权矩阵,进而得到系统的时滞相关稳定性条件.并讨论具有状态和输入时滞的时变时滞系统的时滞相关镇定问题和控制器的设计.

2 问题描述

考虑如下具有状态时滞和输入时滞的标称系统:其中x(t)∈ℝn,u(t)∈ℝm和y(t)∈ℝp分别是系统(1)的状态向量、控制输入向量和测量输出向量,A,B,C,Ad和Bd是已知具有适当维数的实常矩阵.状态和控制输入具有相同的时滞h(t),而h(t)是一个时变的连续可微函数,并满足:

3 不含控制的标称系统稳定性分析

如果系统(1)不含控制输入变量u(t),即∀t∈ℝ,有u(t)≡0,那么系统(1)可转化为:

在本节中,对时滞项h(t)的处理,不直接利用New ton-Leibniz公式对h(t)进行替换,而是通过考虑New ton-Leibniz公式中各项的相互关系,引入若干自由权矩阵,进而得到系统(3)的时滞相关稳定性条件.

接下来介绍本节的主要结果如下:

引理1(Schur补性质[9])对于给定的对称阵:

以及矩阵Si,Ti,i=1,…,4,使得如下LMI成立:

则满足时滞约束(2)的标称系统(3)是渐近稳定的.其中

由Zi＞0,i=1,2可知,(9)式中最后两部分均小于零,要想使˙V(t,xt)＜0,必须有Ξ＜0成立.

如果Ξ＜0,那么总是存在充分小的ε,有˙V(t,xt)＜-ε‖x(t)‖2,由Lyapunov-K rasovskill稳定性定理可知,系统(3)是渐近稳定的.因此,如果条件满足(4)式,系统(3)是渐近稳定的.

4 含控制的标称系统的镇定分析和控制器设计

4.1 状态反馈控制器设计

假设系统(1)的状态x(t)是可以直接测量得到的,要求设计一个无记忆状态反馈控制器

把(10)式代入系统(1)中,得到系统(1)相应的闭环系统如下:

在定理1的基础上,可以得到如下结果:

4.2 输出反馈控制器设计

一般来说,系统的状态并不能直接测量得到的,而能测量的是输出量.因此,这一小节将研究输出反馈控制器设计问题.

系统(1)的状态x(t)是不能直接测量得到的,要求设计一个静态输出反馈控制器

对于形如(14)式的静态输出反馈控制器,把(14)式代入系统(1)得到相应的闭环系统如下:

在定理1的基础上,得到如下结果:

假设存在一个矩阵H∈ℝp×p,使得(17)式成立,再令U:=GH,就可得到(16)式,且有G:=UH-1,于是得到一类静态输出反馈控制器u(t)=UH-1y(t).由定理1可知,在这类反馈控制器的作用下,满足条件(16)、(17)的系统(1)是渐近稳定的.

5 数值实例

考虑形如系统(1)的时滞系统,并设以下参数

由定理2和Matlab软件的LMI工具箱中的求解器feasp,可知满足条件(20)的系统(1)是时滞无关可镇定的.亦即,系统对于满足0≤＜+∞的所有都是可镇定的.与文献[5]相比,考虑到控制器有时滞的情况且时滞是时变的,更具有一般性.这里如果令Bd=0和µ=0,则即为文献[5]中所描述的系统.

进而求得K=[-1.3882-0.1289],满足参数条件(20)的系统(1)的控制器设计为:u(t)=-[1.3882 0.1289]·x(t).

如果在系统(1)中取一些零值(譬如µ=0或Bd=0),就能得到其它特殊情况.

情形1当t＞0时,如果系统的状态变量x(t)是可以测量得到的.类似地,对定理2中的LMI条件(12)求解,得出系统的状态反馈增益K=[-1.3941-0.1270]即得到系统的一个无记忆状态反馈控制器u(t)=-[1.3941 0.1270]·x(t).

从图1可以得出结论:当¯h=1.0,µ=0时,形如(1)的常时滞系统在t=4.5s时,系统处于稳定状态,在以后的时间里将保持这个状态不变.这说明在定理2的结果下,具有状态时滞和控制输入时滞的常时滞系统是可以在一定时间内达到稳定状态的.

情形2当t＞0时,如果系统的状态变量x(t)是不能直接测量得到的,要在系统中加入测量输出变量y(t).类似地,应用定理3的控制器的设计方法,得到系统的一个静态输出反馈增益G=-1.3628.于是得到系统的一个静态输出反馈控制器:

图1 当=1.0,µ=0时系统的状态响应曲线

图2 当=1.0,µ=0时系统的输出响应曲线

从图2可以看出,满足参数条件(20)的系统(1)在静态输出反馈控制器(21)的作用下,系统的输出y(t)在时刻t=4s处于稳定状态,此时刻后输出y(t)一直保持稳定的状态不变,而这里的输出是系统状态的体现.也就是说,系统的状态在静态输出反馈控制器(21)的作用下,从时刻t=4s以后一直保持稳定的状态.

情形2与情形1比较可知,系统(1)的状态在情形2中比在情形1中提前0.5s进入稳定状态.说明设计的输出反馈控制器比状态反馈控制器的效果好些.

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[9]俞立.鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法[M].北京:清华大学出版社,2002.

Stability analysis and controller design for a system with time delays

Qiu Jinxue,You Chengtao,Zhang Chunguo
(Deptartm ent of Mathem atics,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou 310018,China)

This paper studies the linear system with tim e-varying state delays and tim e-varying input delays. First,it is analyzed stability of the system with tim e delays,by choosing a proper Lyapunov-K rasovskii functional,app lying Linear matrix inequality(LMI),and using Lyapunov-K rasovskii stabilization theorem.And then,it is designed corresponding controller.It is im p roved that som e result of linear system with tim e-varying delays.Finally,this result is checked by the num erical simulation.

time-delay system,lyapunov-K rasovskii functional,robust stability, linear m atrix inequality(LMI),feedback control

O231.4

A

1008-5513(2012)03-0391-10

2011-10-11.

国家自然科学基金(10771048).

邱金学(1987-),硕士生,研究方向:运筹学与控制论.

2010 MSC:35Q 72