带有Gilbert阻尼项的Landau-Lifshitz铁磁链方程解的最佳衰减率

罗兰

(广州大学数学与信息科学学院,数学与交叉科学广东普通高校重点实验室,广东广州 510006)

带有Gilbert阻尼项的Landau-Lifshitz铁磁链方程解的最佳衰减率

罗兰

(广州大学数学与信息科学学院,数学与交叉科学广东普通高校重点实验室,广东广州 510006)

主要研究带有Gilbert阻尼项的Landau-Lifshitz铁磁链方程的柯西问题.当初值的一阶导数适当小时,基于加权能量估计,证明了强解的整体存在性并且给出了解的最优的L2和L∞衰减估计.

Landau-Lifshitz方程;Gilbert阻尼;铁磁性;整体适定性;衰减估计

1 引言

本文主要研究了具有Gilbert阻尼项的一维Landau-Lifshitz铁磁链方程的柯西问题,方程形式如下:

其中未知函数u是向量值函数,代表磁铁的自选量,α1是Gilbert阻尼常数(参见文献[1-2]).

方程(1)主要刻画了能量守恒和自旋量的变化规律.Landau和Lifshitz首次推导出方程组(1)(参见文献[3]).从那时起,物理学家和数学家开始关注这一重要模型,并且取得许多重要的研究结果.文献[1]系统地介绍了模型(1)的物理背景和数学研究进展.由自旋场的模的有限性以及Gilbert阻尼常数的非负性,有如下限制条件:

在给出主要定理之前,首先介绍模型(1)的相关的物理和数学研究工作.方程(1)对于理解非平衡态的铁磁场起到至关重要的作用,因此有必要通过对模型(1)的数学理论研究来验证一些重要的物理现象.当空间维数为1且α1=0时,方程(1)转化成可积系统从而具有孤立子解.文献[4-9]系统地研究了孤立子解的存在性、相互作用、无穷守恒律、逆散射问题以及与非线性薛定谔方程的相互关系,也可以参见相关研究文献[10-13].当初值属于维黎曼流形上的Sobolev空间时,文献[1]证明了高维方程组(1)弱解的整体存在性.对于二维情形,他们能够得到更好的正则性和解的唯一性.文献[8-9,14]系统地研究方程组(1)的解的性质以及解与紧致黎曼流形上的调和映照的紧密联系.另外,在一些具体的物理情形,必须考虑磁场和电场效应,文献[10]首先研究方程组(1)与Maxwell方程组的耦合组.文献[15]也系统地研究了这类耦合组.关于模型(1),也有许多数值模拟结果[1112].

本文将证明Landau-Lifshitz方程组柯西问题(1)-(4)强解的整体存在性.另外,还将证明解渐近趋于常状态,并且给出最优的衰减估计.主要定理叙述如下:

定理1若初值u0满足条件(3)-(4).那么柯西问题(1)-(4)具有唯一的强解满足:u(x,t)-¯u∈Hs(R).而且当t→+∞时具有如下最优衰减估计:

通过解的局部存在性定理和一致加权能量估计,可以证明上述定理.由于方程组(1)解的局部存在性定理是经典结果,为了叙述的简洁性不再赘述,将在下一节中详细介绍一致加权能量估计.所有的能量估计都是基于以下先验假设:

首先假设(5)式成立,然后基于此先验假设可以证明‖u-¯u‖H2被初值‖u0-¯u‖H2控制.因此,由初值条件(4)和Sobolev不等式可得(5)式成立.在第二节中,将详细推导方程组(1)解的先验估计.在第三节中,将推导最佳L2(R)和L∞(R)衰减估计.在接下来的推导中,为了方便起见,对于向量值函数u,将其L2(R)范数记为‖u‖,将其L∞(R)范数记为‖u‖∞.

2 先验估计

在本节中,将给出解的一致先验估计,而这些估计足以证明解的整体存在性和解的衰减率估计.首先有如下的L2估计.

引理1假设(3)-(4)式成立.则

其中用到了(15)式.这样,就能够得到更高阶导数的估计.然后与本节所得到的关于解的一致估计和解的局部存在性结果结合起来,就可以得到柯西问题(1)-(4)强解的整体存在性和唯一性.下面来推导主要定理中关于解的渐近估计.

3 最优衰减率

基于上节中得到的一致估计,将在本节给出方程(1)的解的衰减率估计,并且从证明过程中可以看出这个衰减率是最优的.

[1]Guo B L,Hong,MC.The Landau-Lifshitz equation of the ferrom agnetic spin chain and harm onicm aps[J]. Calc.Var.Partial Diff.Equa.,1993,1(3):311-334.

[2]Lakshmanan M,Nakamura K.Laudau-Lifshitz equation of ferrom agnetic:exact treatm ent of the Gilbert dam ping[J].Phys.Rev.Lett.,1984,53(26),:2497-2499.

[3]Landau L D,Lifshitz E M.On the theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies[C].New York:Pergamon Press,1965.

[4]Lakshmanan M,Ruijgrok T W,Thom pson C J.On the dynam ics of e continuum spin system[J].Phys.A, 1976,84:577-590.

[5]Takhtajan L A.Integration the continuous Heisenberg spin chain through the inverse scattering method[J]. Phys.Lett.A,1977,64:235-237.

[6]Zakharov V E,Takhta jan L A.Equivalence ofnon linear Schrodinger equation and Heisenberg ferrom agnet[J]. Theoret.and Math.Phys.1979,38:17-23.

[7]Lakshm anan M,Daniel M.Soliton dam ping and energy loss in the classical continuous Heisenberg spin chain[J].Phys.Re.B,1981,24(11):6751-6754.

[8]Daniel M,Lakshm anan M.Perturbation of solitons in the classical continuous isotropic Heisenberg spin system[J].Phys.A,1983,120:125-152.

[9]Zhou Y L,Guo B L.Existence of weak solution for boundary p roblem s of system s of ferrom agnetic chain[J]. Scientia Sinica A,1981,27:79-811.

[10]Fogedby H C.Theoretical Aspects of Mainly Low D im ensional Magnetic System s[M].New York:Springer, 1980.

[11]Nakamura K,Sasada T.Soliton and wave trains in ferrom agnets[J].Phys.Lett.,1974,48(A):321-322.

[12]Takhtalian L A.Integration of the continuousHeisenberg spin chain through the inverse scatteringm ethod[J]. Phy.Lett.,1977,15(B):3470-3476.

[13]T jon J,W right J.Soliton in the continuous Heisenberg chain[J].Phys.Rev.,1977,15(B):3470-3476.

[14]Chen Y M,Ding S J,Guo B L.Partial regu larity for two-dimensional Landau-Lifshitz equations[J].Acta. Math.Sinica(N.S.),1998,14(3):423-432.

[15]Guo B L,Su F Q.Global weak solution for the Landau-Lifshitz-Maxwell equation in three space dimensions[J].J.Math.Anal.App l.,1997,211:326-346.

[16]Guo B L,Wang Y D.Generalized Landau-Lifshitz system s of the ferromagnetic spin chain and harmonic m aps[J].Science in China,Ser.A,1996,39(12):1242-1287.

[17]Chen Y M,Guo B L.Two dim ensional Landau-Lifshitz equations[J].J.Partial Diff.Equa.,1996,9(4):313-322.

Optimal rate of decay for solutions for the Landau-Lifshitz equation with Gilbert damping for ferrom agnetism

Luo Lan
(School of Mathem atics and In form ation Science,Key Laboratory of Mathem atics and Interdiscip linary Sciences of Guangdong Higher Education Institutes,Guangzhou University,Guangzhou 510006,China)

In this paper we study the Cauchy prob lem for the im portant Landau-Lifshitz equation with Gilbert dam ping for ferrom agnetism.W e estab lish the global existence of strong solution and at the sam e tim e we give some decay estimates of solutions which are indeed optimal.Our analysis is based on the a priori weighted energy estimatemethods.And only the smallness of the first derivatives of the initial data is assumed.

Landau-Lifshitz equation,Gilbert dam ping,ferrom agnetism,global existence,optical decay rates

O29

A

1008-5513(2012)03-0313-16

2012-04-10.

国家自然科学基金(11126021).

罗兰(1962-),硕士,讲师,研究方向：应用数学.

2010 MSC:35A 01,35B40,35G35,35Q80